book1989

Определим в оператор А и вектор ср следующим образом:

Тогда разностную схему (4) (или, что то же самое, разностную схе­ му (3)) можно записать в операторной форме (1). Матрица этого оператора является симметричной и трехдиагональной. Например, для случая iV = 6 она имеет вид

Возможно и несколько иное определение оператора А, позво­ ляющее записать выражения для его компонент единообразно во

Такое определение оператора А мы уже использовали в § 1 гл. 3. Подчеркнем, что формулы (5) и (7) определяют, по существу, один и тот же оператор.

Разностные схемы для многомерных задач также можно пред­ ставить в операторной форме (1).

П р и м е р 2. В области G(0<xa<la, а = 1, 2) введем сетку

Q h = {х ц = ( 4 ° , х 2) | x f = ihlt x f = jh 2,

i = 0, 1, ... , Nly / — 0, l, ... , N2, h1N1 = l1, h2N2 = l2).

Пусть yh— множество узлов сетки £2Л, принадлежащих границе об­ ласти G и соь— множество внутренних узлов сетки Qft. Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую уравнение Пуассона

Разностную схему (8) можно записать в виде (1), где оператор А определен согласно (9), а компоненты вектора среЯ(со),) задают­ ся формулами фч= <р(*ч) =/„, если x , ^ a h. Свойства оператора (9) подробно изучались в § 2 гл. 3.

Можно было бы, так же как и в примере Ч, определить оператор А как опе­

2. Корректность операторных уравнений. Рассмотрим семейство операторных уравнений (2), где Ah—линейный оператор, дейст­ вующий в конечномерном линейном пространстве Hh. Предположим,

что в пространстве Hh заданы нормы IMI(ift) и 1Ы1(2/1), в которых

измеряются, соответственно, решение уравнения (2) и его правая часть. В соответствии с определениями, введенными в § 6 гл. 1, бу­ дем называть уравнение (2) корректным, если

чивостью разностной схемы (2). Вообще, устойчивость какой-либо задачи озна­ чает, что при небольшом изменении входных данных решение изменяется мало. Таким образом, для исследования устойчивости необходимо рассматривать урав­ нение, которому удовлетворяет погрешность, возникающая в результате возму-

342

щения входных данных. Однако в случае линейного оператора Ап структура урав­ нения для погрешности та же, что и основного уравнения (2). Поэтому при ис­ следовании устойчивости достаточно ограничиться оценкой (10). Действительно, рассмотрим наряду с (2) уравнение

V h = ‘Pft)*

отличающееся от (2) правой частью. Для погрешности гк=Ук—Щ получим

уравнение

'4л2/,= бфЛ,

где 6фл = фл— ф*,1* — возмущение правой части. Если выполнена оценка (10), то

II** Him ^ ^ I IIS<PJI(2A),

Нетрудно получить некоторые достаточные условия корректно­ сти. Предположим, что Hh— вещественное конечномерное про­ странство, в котором введены скалярное произведение {у, и)Ли

норма IIy h —У (у, у)н. Справедливо следующее утверждение.

Если существует постоянная б > 0 , не зависящая от h и такая, что при любом vhe H h выполнено неравенство

то уравнение (2) корректно и для его решения выполняется оценка

(12)

Чтобы доказать существование и единственность решения уравнения (2), достаточно убедиться в том, что однородное урав­ нение

имеет только тривиальное решение 2Л= 0.

Пусть zh— решение уравнения (13). Тогда согласно (11) имеем

бI Zh|* (AhZh, Zh) — 0,

чения оператора Ah— действительные числа, причем для минималь­ ного собственного числа выполняется оценка

343

Действительно, пусть X — любое собственное число оператора Ah и р, — отвечающая ему собственная функция, ЛА|л = Яц. Тогда со­ гласно (11) имеем

и, следовательно, Х^Ь.

Для самосопряженного оператора Ак верно и обратное: из усло­ вия (14) следует выполнение неравенства (11) при любых щ е/Д . В данном случае любой элемент vh^ H h можно разложить по ортонормированной системе {щ} собственных векторов оператора Ah:

Таким образом, можно сформулировать еще один признак коррект­ ности.

Пусть Ah— самосопряженный оператор иХ£}П— его минималь­ ное собственное число. Если выполнена оценка (14) с постоянной 8> 0, не зависящей от h, то уравнение (2) корректно и для его ре­ шения справедлива оценка (12).

Вернемся к примерам, рассмотренным в п. 1. Введем в простран­

стве Н%_j (см. пример 1) скалярное произведение

Тогда, как было показано в § 1 гл. 3, оператор (7) является само­

сопряженным в HN-I и для его минимального собственного числа справедливо неравенство (14) с константой 8 = 9/Р. Таким образом, разностная задача (3) корректна и для ее решения выполняется оценка (12), где функция <р определена согласно (6).

В случае схемы из примера (2) скалярное произведение и нор­ ма в Н°(Qft) определяются как

Оператор (9) является самосопряженным и для его минимального собственного числа выполнена оценка (14) с константой 8= 9

-f- 9 /1\ (см. § 2 гл. 3). Следовательно, разностная схема (8) кор­

344

ректна и для ее решения справедлива оценка

ы < т 1 + 9 /й гч п .

Иногда оценок вида (12), в которых решение и правая часть вы­ числяются в одной и той же норме, бывает недостаточно для до­ казательства сходимости и выяснения порядка точности разностной схемы. В то же время оценки вида (10) со специально подобранной нормой правой части|| Фа|(2д) позволяют получить правильное пред­

ставление о порядке точности разностной схемы.

схему (15) в операторном виде Аг=\р. Для того чтобы матрица оператора А

понижение порядка точности по сравнению с доказанной в § 3 гл. 1 точностью 0(А 2) вызвано неудачным выбором нормы правой части ф. Если в качестве нор-

346

(28), называется оператором левой разностной производной. Мат­ рица этого оператора имеет вид (для определенности полагаем здесь N = 5)

Найдем оператор А*, сопряженный оператору (28). По определению имеем

N N

Оператор (29) называется оператором правой разностной произ­ водной. Матрица оператора (29) является транспонированной по отношению к матрице оператора (28).

Вычислим скалярное произведение (Ау, у) для оператора (28).

Из неравенства (31) следует, в частности, что оператор (28) поло­

§ 2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем

1. Канонический вид двуслойных разностных схем. Общая за­ пись разностных схем в виде операторных уравнений Ahyh=*рЛ, удоб­ ная для стационарных задач, оказывается недостаточно детальной при переходе к нестационарным разностным схемам. Поэтому при исследовании двуслойных и трехслойных разностных схем исполь­ зуются другие канонические формы записи.

Пусть, как и прежде, задано семейство конечномерных линей­ ных пространств Hh, размерность которых зависит от параметра h. Параметр h считаем вектором с нормой \h\. В приложениях к кон­ кретным разностным схемам пространство Нк состоит из функций, заданных на пространственной сетке Q,,, характеризующейся ша­ гом h.

На отрезке [0, Г] введем сетку по времени

(от= {/„ = пт, n = 0, 1, . . . , К , К х = Т }

с шагом т>0 и будем рассматривать функции y(tn) ^ H h дискретно­ го аргумента /„еш, со значениями из пространства Hh. Функции y(tn) ^ H h могут зависеть параметрически от h и т, у (tn)=yi,,x(tn).

В дальнейшем будем обозначать yn = yh,x(tn) ■

Пусть заданы линейные операторы Ви В2, действующие в Нк,

т

получаем, что любую двуслойную разностную схему можно запи­ сать на сетке оц в виде

Поскольку одну и ту же разностную схему можно записать мно­ гими способами, введение единообразной канонической формы за­ писи облегчает анализ и сравнение различных схем. По форме записи схема (3) напоминает абстрактную задачу Коши для

349

дифференциальных уравнений

^ - + Jlu(t) = fit), t > О, u(0) = «o. at

В случае конкретных разностных схем оператор А обычно пред­ ставляет собой аппроксимацию пространственного дифференциаль­ ного оператора si-, а оператор В задает ту или иную разностную схему. Поэтому запись схемы в виде (3) часто упрощает проверку аппроксимации. В дальнейшем мы убедимся в том, что условия устойчивости двуслойной разностной схемы удобно формулировать в терминах свойств операторов А и В.

Приведем несколько примеров.

П р и м е р 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного урав­ нения теплопроводности (см.§ 4 гл. 1)

Приведем схему (4) к каноническому виду (1). В качестве про­ странства Hh возьмем множество H^-i действительных функций, заданных на сетке

£2Л= {Xi— ih, i = 0, 1, . . . , Я, hN = l)

и обращающихся в нуль при г = 0, i—N (операции сложения и ум­ ножения на число задаются обычным образом, т. е. покоординат­ но). Определим оператор А (оператор второй разностной производ­ ной) формулами

= У(хн tn). Тогда разностную схему (4) можно записать в опера­

который еще не является ее каноническим видом. Для того чтобы перейти к каноническому виду (3), достаточно воспользоваться тождеством (2), откуда получим, что В = £'+отЛ.