book1989

->0 норма погрешности zh также стремится к нулю, т. е. схема схо­ дится. Если ||г|)Ии<АМ/1 | \ т о из (9) получим

т. е. разностная схема имеет fe-й порядок точности.

Значение приведенной выше теоремы состоит в том, что она позволяет разделить изучение сходимости на два отдельных этапа: доказательство аппроксимации и доказательство устойчивости. Обычно более сложным этапом является исследование устойчиво­ сти, которое состоит в получении оценок вида (8), называемых

априорными оценками.

З а м е ч а н и е . Теорема доказана в предположении, что решение уп и пра­ вая часть <рл измеряются в одной и той же норме. Однако, изменив соответствую­ щие определения, можно легко показать, что теорема остается справедливой и в том случае, когда решение измеряется в одной норме, а правая часть — в другой (см., например, [32]).

Г Л А В А 2

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ностная краевая задача и вводится каноническая форма записи разностных схем, удобная для применения принципа максимума. Такая каноническая форма пригодна не только для разностного уравнения Пуассона, но и вообще для любого линейного разност­ ного уравнения. В § 2 излагаются основные теоремы принципа максимума для разностных схем, записанных в канонической фор­ ме. В § 3 принцип максимума применяется к исследованию сходи­ мости разностной аппроксимации задачи Дирихле. В § 4, 5 приво­ дятся примеры применения принципа максимума к другим стацио­ нарным и нестационарным разностным задачам.

§ 1. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона

1. Постановка разностной задачи. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: найти непрерывную в G = G[jr функцию и(хи хг), удовлетворяющую уравнению

и граничному условию

и(х) = р(х), геГ ,

10* 291

где G —прямоугольник,

G={0<xl<li, 0<х2<12},

Г —его граница, f(x), ц(х) — заданные функции. Предполагаем,

Одним из основных свойств задачи (2) является выполнение прин­ ципа максимума: непрерывное в G и отличное от константы реше­ ние и{х,,х2) может достигать своего максимального по модулю значения только на границе Г. Отсюда следует, что справедлива оценка

шах | и (х1г х2) | ^ шах | р (хь х2) | , G—G(JT,

означающая устойчивость задачи (2) по граничным данным. В сле­ дующих параграфах аналогичные оценки будут получены и д^я некоторых разностных схем, аппроксимирующих уравнение (2). Эти оценки помогут установить сходимость разностной схемы для уравнения Пуассона (1).

=0, 1,.. . , М2. Для функций у, определенных на й, обозначим

Уц =У(хц), У-Х1Хиtj — (yui.i — 2уц + Ус-и)/#,

Ух л ,ц = (Уип ~ 2Уч + Уи-iVhl

Задаче Дирихле (1) сопоставим следующую разностную схему:

сетки Й, называемому множеством внутренних точек сетки й. Со­

в которых заданы разностные граничные условия (4), называется границей сетки Й. На рис. 12 внутренние точки отмечены кружоч­

и поэтому не относятся ни к внутренним, ни к граничным точкам.

гебраических уравнений относительно уц, состоящую из (iV,—1)Х X (М2—1) уравнений и стольких же неизвестных.

2. Канонический вид разностного уравнения. Для дальнейшего

Обозначим через х точку Хц —центральную точку шаблона, на ко­ тором аппроксимируется уравнение (1), а через Ш{х) —весь этот шаблон, т. е. совокупность пяти точек Хц, xi±u, xiJ±l. Назовем окрестностью точки х и обозначим через Ш'(х) все точки шаблона Ш(х) за исключением точки х, т. е. Ш'(х) —это четыре точки xi±ijf Xij±l. Тогда уравнение (5) можно записать в виде

в виде (6) называется канонической формой разностного уравне­

293

ния. Она применима не только к уравнению (5), но и к любому линейному разностному уравнению. Разумеется, в каждом кон­

А(х ) >0.

Вследующем параграфе изучаются свойства общей разностной схемы (6) безотносительно к конкретному виду ее коэффициентов,

важно лишь, чтобы выполнялись условия, аналогичные (8). Полу­ ченные выводы окажется возможным применить не только к раз­ ностной схеме (3), (4), но и к более широким классам разностных схем.

§ 2. Принцип максимума для разностных схем. Основные теоремы

1. Исходные предположения. В предыдущем параграфе на при­ мере уравнения Пуассона была введена каноническая форма за­ писи разностной схемы

Поясним теперь, как следует понимать уравнение (1) в общем случае. Пусть в л-мерном евклидовом пространстве задано конеч­ ное множество точек —сетка £2. Каждой точке г е й сопоставим один и только один шаблон Ш(х) —любое подмножество £2, со­ держащее данную точку х. Окрестностью точки х назовем множе­ ство Ш' (х)=Ш {х)\{х}. Заметим, что Ш'(х) может быть и пустым множеством. Пусть заданы функции Л(х), В(х,%)< F{x), опреде­ ленные при любых хеЙ , и принимающие вещественные зна­ чения. Далее, каждой точке х е й соотносится одно и только одно уравнение вида (1), в котором у(х) —искомая сеточная функция. В результате получаем систему линейных алгебраических уравне­ ний с числом уравнений, равным числу неизвестных. Эту систему уравнении и будем называть разностной схемой.

294

Введем понятие связной сетки. Сетку й будем называть связ­ ной сеткой, если для любых двух ее узлов х0, х'дтаких, что по край­

ней мере один из узлов имеет непустую окрестность, существует та­

2. Принцип максимума и его следствия. Сформулируем теперь основную теорему настоящего параграфа (см. L33]). Наряду с сет­ кой Q будем рассматривать какое-либо ее подмножество и и обозначим

й = и Ш(Х).

Для наглядности читатель может представить себе, что й —это сетка, введенная в § 1 при аппроксимации уравнения Пуассона в прямоугольнике, а со —множество ее внутренних узлов. Очевидно,

295

что при этом co=Q. В общем же случае требуемые свойства мно­ жеств Q и ш сформулированы в приведенной ниже теореме. Заме­

ее подмножество со являются связными, причем <о^£2. Пусть в со выполнены условия положительности коэффициентов (5). Тогда,

большего положительного (соответственно наименьшего отрица­

неотрицательно. Действительно, согласно условиям (5) и предпо­

Ly(xо)=0. Но тогда, учитывая неотрицательность всех слагаемых правой части выражения (8), получим

вытекает существование системы узлов хи х2, . . . , хт, принадлежа­ щих со и удовлетворяющих условиям

x^UI'ixv), хг<=Ш'{хТ), . . . . xme=UI'(xm-s), х'а е Ш ' ( х т).

Из условия (7) и доказанного свойства (9) получаем y(xi)=y(x„). Следовательно, относительно точки х1 можно повторить все пре­ дыдущие рассуждения и доказать, что

У(1)=У(Хi) Для всех geZZT^).

296

Аналогично докажем, что

y ( X i ) = y ( x 2) = . . . = у ( х т ) = у { х 0 ) .

Оценим величину

L y (Х,п) Т) (■'•":) У (Х,п) I' ^ Е (-^т, £) (£/ (А'".'.';) У (Е))*

которое противоречит условию (6). Таким образом, допущение (7)

дение следует из принципа максимума. Действительно, предпола­ гая, что у(х)> 0 хотя бы в одной точке х е й , мы допускаем суще­ ствование в £2 положительного максимума функции у{х), что про­ тиворечит принципу максимума. Если y(x)=const при хеЙ , то в точке х0, для которой D(x0) >0, имеем

и можно применять следствие 1.

Теперь мы уже в состоянии сформулировать достаточные усло­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ранее отмечалось, что задача (1) пред­ ставляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в ко­ торой число уравнений равно числу неизвестных. Поэтому доста­ точно показать, что однородное уравнение Ly{x) = 0, хеЙ , имеет только тривиальное решение у (х )= 0. Поскольку условия Ь у { х ) ^ Г2:0 и Ь у(х)^ .0 в данном случае выполнены, из следствия 1 за­ ключаем, что в каждой точке х е й одновременно выполняются не­ равенства у { х ) ^ 0 и у ( х ) ^ 0 . Но это справедливо лишь тогда, когда у(х) = 0 на Й.

Предоставляем читателю возможность самостоятельно убе­ диться в том, что разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона (см. § 1), удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и ее следствий и тем самым имеет единствен­ ное решение. Для того чтобы доказать непрерывную зависимость решения от правой части и от граничных условий, полученной тео­ ремы недостаточно. Докажем еще несколько утверждений, следую­ щих из принципа максимума.

3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям.

Пусть у —множество граничных точек сетки £2, т. е. точек х е й , для которых Ш '(х)=0 . Множество точек сетки Й, не являющихся гра­ ничными, назовем множеством внутренних узлов и обозначим через

где y(x)=F(x)/A (х) —заданная функция. Первая краевая задача состоит в том, чтобы найти сеточную функцию у(х), удовлетво­ ряющую уравнению (1) при х е и и условию (12) при х ^ у . Уже

298

отмечалось, что при условиях теоремы 1 первая краевая задача

имеет единственное решение.

Переформулируем теорему сравнения на случай первой крае­

вой задачи.

Рассмотрим две задачи:

Если при х е ш выполнены условия (5) и

| F(x)\^F(x), х ^ ш , | р (х) | С р (х), хс^у,

то

|у (х) 1^ У (х) при всех xeQ .

Функция Y{x), фигурирующая в теореме сравнения, называется мажорантной функцией для решения у(х) задачи (4). Для полу­ чения оценки решения у(х) обычно строят вспомогательную зада­ чу (11) или (14) так, чтобы можно было легко найти ее решение У(х) и затем применяют теорему сравнения.

Теорема сравнения позволяет легко доказать устойчивость ре­ шения первой краевой задачи по граничным условиям. Рассмотрим однородное уравнение (13) с неоднородным граничным условием

Lv (х) =La—LY (х) —La=D (х)а^О

и и(х)=0 при хеш и, согласно следствию 1, получим н (х )^0 , т. е. У(х) Но тогда при всех хеЙ имеем \у(х) | ^У (х) ^Га, откуда

иследует (16).

4.Примеры. Приведем несколько простых примеров.

П р и м е р 1. Рассмотрим задачу

и" (х) ——/ (х), 0<х<1, H'(0)=0, н(1)=0.

По аналогии с § 2 гл. I построим разностную схему второго

299

ничную точку x—xN. Окрестность Ш'(х0) узла х0 состоит из одного узла *=%!. Окрестность Ш'(х{) узла х{ при £=1, 2, . . . , IV—1 состо­ ит из двух узлов Xi-t, xi+l. Сетка, очевидно, является связной. Свой­ ства положительности коэффициентов (5) выполнены, причем D(x;)=0 при i=l, 2,.. ., iV—1, D ( X N ) = A { X n ) = 1. Таким образом, к разностной схеме (18) можно применять принцип максимума и его следствия.

выполнены в каждой точке сетки. Нет ни одной точки х0 сетки Q, в которой выполнялось бы строгое неравенство D(x0)>0. Поэтому нельзя применять следствия 1 и 2 и утверждать о существовании и единственности решения задачи (20). И действительно, решение задачи (20) (так же как и исходной дифференциальной задачи (19)) не единственно: наряду с у(х) решением является функция v (х) =у(х) + а, где а — любая постоянная.

§3. Доказательство устойчивости

исходимости разностной задачи Дирихле

для уравнения Пуассона

1. Устойчивость по граничным условиям. В § 1 рассматривалась задача Дирихле для уравнения Пуассона

300