book1989

или

Из п. 2 известно, что последнее уравнение устойчиво при %' = :0,5/t2 т. е. при

Р2

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях а(хи /), р(х„ t), т. е. если при всех х, t выполнены нера­ венства

Если известно, что 0 < c i^ a ( x i, t ) ^ c 2, р(х,-, £ ) ^ сз> 0, то неравен­ ство (271 будет выполнено при

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в при­

циентов следует абсолютная устойчивость схемы (24). Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пре­ делы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схе­

мами. Чисто неявная схема, линейная относительно y1+t, £= 1,2,...

. . . , Дг—1, имеет вид

где at= 0,Ь (k(y1) + fe (г/Г-О). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по г и второй —по h. Решение

у Г \ ‘'= 1 .2 ,... , N —1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

УЬ = J ((ЬУ;)*.1 + ФУхЬ) + f

где k^kiy'}).

281

Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:

берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального прибли­ жения для у"+1 выбирается уп.ш Это начальное приближение тем

лучше, чем меньше шаг т. Число итераций М задается из сообра­ жений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u )'^c i^>0 часто бывает достаточно провести две — три итерации.

Значения у^+1) на новой итерации находятся из системы (31) ме­ тодом прогонки. При М= 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).

Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) при­ меняются также схемы предиктор —корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге —Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. п. 2 § 1 гл. 6 ч. II). Здесь пере­ ход со слоя п на слой п+ 1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений

§5. Трехслойные разностные схемы

1.Разностные схемы для уравнения колебаний. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний

Известно (см., например, [41]), что эта задача поставлена кор­ ректно, т. е. ее решение существует, оно единственно и непрерывно

Очевидно, минимальный шаблон, на котором можно аппрокси­ мировать уравнение (1), это пятиточечный шаблон, изображенный па рис 11, г. Таким образом, в отличие от схем для уравнения теп­ лопроводности, в которых использовалось только два временных слоя (слои п и п+1), здесь требуется использовать три слоя: п—1, п, п+ 1. Такие схемы называются трехслойными. Их применение предполагает, что при нахождении значений у"п на верхнем слое

Разностное уравнение (4) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по х и по к. Решение у™ выражается явным об­

разом через значения на предыдущих слоях:

уТ 1= Щ — У'Г + v (y'U — Щ + У11)>

Для начала счета по формулам (6) должны быть заданы зна­ чения У\,У\, i=0, 1,. . ., N—1, N. Из первого начального условия

(3) сразу получаем

283

Простейшая замена второго из начальных условий (3) уравне­ нием (у) — г/?)/т=й0(*0 имеет лишь первый порядок аппроксима­

ции по т. Поскольку уравнение (2) аппроксимирует основное урав­ нение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Чтобы добиться этого, воспользуемся разложением

аппроксимирует уравнение ut (0, X) = UQ(X ) со вторым порядком. Чтобы найти значения y f 1 запишем уравнение (4) при л = 0:

v t - W + yJ1

Будем считать разностное уравнение (4) устойчивым, если оба корня уравнения (11) не превосходят по модулю единицу. Пусть ql и q i—корни этого уравнения. Если оба корня действительные, то поскольку ^(72= 1, найдется ср, для которого один из корней меньше единицы по модулю, а второй —больше единицы. Если же корни комплексно сопряженные, то |^,| = |^2| = 1. Таким образом, разностное уравнение (4) устойчиво, если при всех действительных

применяются значительно реже двухслойных, их иногда используют для повышения порядка аппроксимации или для улучшения устой­ чивости. Приведем несколько примеров трехслойных схем для уравнения (13). На первый взгляд кажется очень естественным заменить уравнение (13) явной симметричной схемой второго по­ рядка аппроксимации

Однако эта схема совершенно непригодна для использования на быстродействующих ЭВМ, поскольку при любых шагах т и h она является неустойчивой. Если искать ее решение в виде (10), то получим уравнение

которая интересна тем, что является абсолютно устойчивой, но об­ ладает условной аппроксимацией. Обозначим

285

Отсюда легко получить, что уравнение (15) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (13) лишь при условии, что т2//г2— при г—>-0, ft—>-0. Погрешность аппроксимации является ве­

личиной 0 (т2+ ft2 + T2/ft2)- Если же положить, например, x=ft, то (15) будет аппроксимировать уравнение гиперболическо­ го типа

ди , д2и __ д2и

§ 6. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость

1. Введение. Ранее мы уже встречались с перечисленными в за­ главии понятиями в связи с самыми различными примерами раз­ ностных схем для конкретных дифференциальных уравнений. В на­ стоящем параграфе дается изложение основных понятий теории разностных схем и выясняется связь между ними для линейных разностных схем самого общего вида, безотносительно к конкрет­ ной структуре исходного дифференциального уравнения и ап­ проксимирующей его разностной схемы.

Пусть дана исходная дифференциальная задача, которую мы запишем в виде

рассмотреть первую краевую задачу —u"(x)=f(x), 0<х<1, и{0) = =и (1) =0, хотя в общем случае уравнение (1) может быть много­ мерным, в том числе и нестационарным уравнением. Существенно в дальнейшем лишь требование линейности оператора L.

Для построения разностной схемы прежде всего вводится сетка Gh —конечное множество точек, принадлежащих G, плотность рас­ пределения которых характеризуется параметром ft —шагом сетки.

либо 17г | =УЛ2 + т.

После введения сетки Gh следует заменить в уравнении (1) дифференциальный оператор L разностным оператором Lh, правую часть f(x) —сеточной функцией срДх). В результате получим си­ стему разностных уравнений

В отличие от дифференциального уравнения решение разностной задачи будем обозначать буквой у.

2. Погрешность аппроксимации и погрешность схемы. Перей­ дем к изложению основных понятий теории разностных схем: ап­ проксимации, корректности (устойчивости) и сходимости. Прежде чем давать формальные определения, заметим, что свойство ап­ проксимации означает близость разностного оператора к диффе­ ренциальному. Отсюда еще не следует, вообще говоря, близость решений дифференциального и разностного уравнений. Свойство устойчивости разностной схемы является ее внутренним свойством, не зависящим от того, аппроксимирует ли эта схема какое-либо дифференциальное уравнение (см. 130]). Оказывается, однако, что если разностная схема аппроксимирует корректно поставленную задачу и устойчива, то ее решение сходится при |й|->-0 к решению исходной дифференциальной задачи.

Будем считать, что решение и(х) задачи (1) принадлежит ли­

ций) с нормой || - Ik. По существу, имеем семейство линейных нор­ мированных пространств, зависящее от параметра h.

Чтобы иметь возможность сравнивать функции из различных пространств, вводится оператор проектирования ph: Это, по определению, линейный оператор, сопоставляющий каждой

Gh — равномерная сетка с шагом h:

Gh= { X i = ih, i= 0 , 1, . . . . N, /ЙУ=1}.

287

Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор вычисления значения функции в данной точке сетки. Этот оператор определяется следующим образом:

сованы с нормой в исходном пространстве 38й. Это означает, что для любой и е | , выполняется условие

не согласована ни с одной из норм для функций непрерывного аргумента, так

<30

как ряд ^ |г /,|2 может расходиться. Норма

1=0

II у U = т .ах , \ уА

согласована с нормой в С.

288

формулой (5), называется погрешностью аппроксимации разност­ ной задачи (2) на решении исходной дифференциальной задачи

( 1).

Преобразуем выражение для фЛ(х). Проектируя уравнение (1) на сетку Gh, получим

ответственно, погрешностью аппроксимации дифференциального оператора L разностным оператором Lh и погрешностью аппрокси­ мации правой части.

ностная схема имеет k-й порядок аппроксимации, если существуют постоянные k>0, Л4,>0, не зависящие от h и такие, что

Аналогично определяются погрешность аппроксимации и поря­ док погрешности аппроксимации правых частей и дифференциаль­ ного оператора.

З а м е ч а н и е . Мы видели, что погрешность аппроксимации на решении представляется в виде суммы погрешностей аппроксимации дифференциального оператора и правой части. Однако порядок погрешности аппроксимации на реше­ нии ф может оказаться выше, чем порядок погрешности аппроксимации операто­ ра ф, и правой части ф2 в отдельности. Нетрудно, например, показать, что раз­ ностное уравнение

имеет четвертый порядок аппроксимации на решении дифференциального урав­ нения

хотя дифференциальный оператор и правая часть аппроксимируются лишь со вторым порядком.

3. Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между устойчивостью и сходимостью. По аналогии с дифференциальным случаем вводится понятие корректности разностной задачи.

О п р е д е л е н и е 5. Разностная схема (2) называется коррект­ ной, если 1) ее решение существует и единственно при любых пра­

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномер­ ную относительно А, решения разностной задачи от правой части, называется устойчивостью разностной схемы. Заметим, что требо­

вание 1) эквивалентно существованию оператора Ц,1, обратного оператору Lh, а требование 2) эквивалентно равномерной по h

\\уи—PhU\\h-+0.

Разностная схема имеет k-й порядок точности, если существу­ ют постоянные £>0, Л43>0, не зависящие от А и такие, что

\\Ун—рАы||/.<Л43|А |\

Часто для краткости просто говорят «разностная схема сходит­ ся», подразумевая сходимость решения разностной задачи к реше­ нию дифференциальной задачи.

Справедлива следующая теорема о связи устойчивости и схо­ димости.

Пусть дифференциальная задача (1) поставлена корректно, разностная схема (2) является корректной и аппроксимирует ис­

и разностная задача (2). Поэтому из требования корректности сле­ дует оценка

Поскольку константа Af2 не зависит от А, получаем, что при ЦфЛ!!Л->

290