book1989

то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют нера­ венствам

Это утверждение сразу следует из явного представления коэффици­ ентов (5), (6).

Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:

порядком по h, так что выполняется оценка

ентов (5), (6) не влияет на справедливость высказанного утверждения, важно лишь выполнение условий (8), (9), (19). 2. Можно ослабить требования на глад­ кость коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения и(х), однако при этом априор­ ные оценки вида (21) становятся бесполезными, так как норма |[ ф |fc(M/l) может

и не стремиться к нулю. Доказательство сходимости в классе разрывных коэф­

§4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности

1.Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0<х<1, 0 < (^ Г } требуется найти ре­ шение уравнения

[41]), что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1) —(3) существует и единственно. В дальнейшем при ис­ следовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение и(х, t) обладает необходимым по ходу изложения чис­ лом производных по х и по t. Решение задачи (1) —(3) удовлетво­ ряет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от на­ чальных и граничных данных.

2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т. е. множество точек сетки, участ­ вующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному л; такую же, как и в § 3, т. е.

<i>h={Xi= ih, (= 0, 1 ,... , М, hN = 1},

и сетку по переменному ( с шагом т, которую обозначим

шт = {(п = /гт, п = 0, 1, . .., К, Кт = Т}.

272

В результате получим разностное уравнение

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi7 £„) с первым порядком по т и вторым порядком по h при условии, что разность <р7‘—f(xit tn) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное урав­ нение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (началь­ ные и граничные) условия — в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема име­ ет вид

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраиче­ ских уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на ну­

левом слое задано начальными условиямиу° = иа(х{), £ = 0, 1........N.

ных условий. По этой причине схема (6) называется явной разност­ ной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схе­

порядком по т и вторым — по h. Однако это исследование мы отло­ жим до § 3 гл. 3, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с по­ стоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он по­ зволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимо­ сти разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6)

можно применять лишь при условии т^ 0 ,5 h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

где i —мнимая единица, ф —любое действительное число и q —чис­ ло, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eiih,f, получим

вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для не­ которого ф множитель q станет по модулю больше единицы, то ре­ шение вида (10) будет неограниченно возрастать при п -+ о о . В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |^ |^ 1 для всех действительных <р, то

275

все решения вида (10) ограничены при любом п и разностное урав­ нение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически не­ возможно, так как погрешности (например погрешности округле­ ния), внесенные в начальный момент времени, будут неограничен­ но возрастать при увеличении п. Такие разностные схемы называ­ ются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |<7|^1 выполняется согласно (11) при всех ф тогда и только тогда, когда ^^0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия т^0,5/г2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором огра­ ничении на отношение шагов по пространству и по времени, назы­ ваются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) условно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид х/к2^.0,5. Ус­ ловно устойчивые схемы для уравнений параболического типа ис­ пользуются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h—10-2. Тогда шаг т не должен превосходить 0,5 -10-4, и для того

чтобы вычислить решение у* при t= 1, надо взять число шагов по времени n=x~l^ 2 - 104, т. е. провести не менее 2-104 вычислений по формулам (7). В следующем пункте будет показано, что многие неявные схемы лишены этого недостатка и являются устойчивыми при любых шагах h и т. Такие схемы называются абсолютно ус­ тойчивыми.

3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для урав­ нения теплопроводности (схемой с опережением) называется раз­

аппроксимации по х и второй —по h. Решение системы (12) нахо­ дится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с и=1. Одна­

прогонки (см. п. 7 § 4 ч. I), так как условия устойчивости прогонки выполнены.

276

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим

, _ ( 1 + 4т5т > 'А Г . y = j r .

следовательно, [<7|^1 при любых ф, т, h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т. е. устойчива при любых шагах т и h. Абсолютная устойчивость является основным преимуществом не­ явных схем. Теперь уже не надо брать шаг т слишком малым, можно взять, например, т=/г=10_г. Величина шагов сетки т, h определяется теперь необходимой точностью расчета, а не сообра­ жениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изо­ браженный на рис. 11, в.

Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации как по h, так и по т (если только ф? =f(xu Z1„+ 0,5T)+ O (T2+ /I2)), она абсолютно устойчива

и ее можно решать методом прогонки.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопарамет­ рическое семейство схем с весами. Зададим произвольный дейст­ вительный параметр о и определим разностную схему

у Г ~ у 1

(15)

— ио(х;)> t = 0, 1, . . ., N.

При а=0 получим отсюда явную схему, при а=1 —чисто неяв­ ную схему и при о=0,5 —симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной за­

уравнений

= z"+1 = 0, п = 0, 1, . . ., К — 1, г» = 0, t = О, 1, . . ., IV.

Сеточная функция гр”, входящая в правую часть уравнения (16) и равная

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении

задачи (1) — (3). Получим первые члены разложения функции г|з“ по степеням h и т. Будем разлагать все функции, входящие в вы­

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по т и четвер­ тый —по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка

278

аппроксимации. Если

При остальных значениях о и при ф" =[(хи tn+t) + 0(x + h2) схема (15) имеет первый порядок аппроксимации по т и второй —по h.

Опуская выкладки, отметим, что если искать решение уравне­ ния (15) с ф" = 0 в виде (10), то получим

hm

1 — 47(1 — a) sin2 —

устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (а=о.) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При афО разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yf+1 по заданным у* требуется решать си­

стему уравнений

где

V = . Ft = Vi + (1 — or)ту-х . + Тф£.

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки (условия (47), (48) из § 4 ч. I) при аф 0 сводятся к не­ равенству

11 + 2оу | ^ 21ст | к

и выполнены при а ^ —1/(4^). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

4. Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

P { X ’ t ) l t ~ = Tx { k { x ' t ) d£ ) + f i x ' t ) ’ ° < х < 1 > 0 < * < 7 \ ( 2 1 )

где р(х, (), k(x,t), f(x,t) —достаточно гладкие функции, удовлет­ воряющие условиям