book1989
.pdf1. Построение кубического сплайна. Пусть на [а, Ь] задана не прерывная функция f(x). Введем сетку
a=x„<xl< . . .<xN-i< xN — b
и обозначим fi=f(Xi), i = 0, 1, ..., N. |
функции fix) и данным |
||
Сплайном, |
соответствующим данной |
||
узлам {jC;}iLo, |
называется функция s(x), |
удовлетворяющая следую |
|
щим условиям: |
|
N, функция s(x) |
|
а) на каждом сегменте [х*_ь х{], i = l , 2, |
|||
является многочленом третьей степени; |
|
|
|
б) функция s(x), а также ее первая и вторая производные не прерывны на [а, Ь];
в) s{xt) = f{ x t), i = 0, 1, .... N.
Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями а)—в), называется также ин терполяционным кубическим сплайном.
Докажем существование и единственность сплайна, определяе
мого перечисленными условиями. Приведенное ниже |
доказатель |
||
ство содержит также способ построения сплайна. |
будем |
искать |
|
На каждом из отрезков [Xj_(, х,], t= |
l, 2 , ..., N, |
||
функцию s(x)=Si(x) в виде многочлена третьей степени |
|
||
Si (х) = at + bi (х — Xi) + Ц- (х —Xi)2 + ~ ( Х — Xi)3, |
(1) |
||
2 |
6 |
|
|
Xi-^xs^Xi, i = l , 2 , . . . , N ,
где at, bit cit d{— коэффициенты, подлежащие определению. Пояс ним смысл введенных коэффициентов. Имеем
Si (X) = bt -f Ci (X — Xi) + - у (х — xt)2,
si (х) = d + di (х — Xi), si (x) = di,
поэтому
ai = Si(xi), bi — si (x;), a — Si(Xi), di = s"(Xi).
Из условий интерполирования s(x{) = /(x ,), i = 1, 2, ..., N, полу чаем, что
ai=f(Xi), i = l , 2, ..., N.
Доопределим, кроме того, a„ = f(x0).
Далее, требование непрерывности функции s(x) приводит к условиям
Si{Xi)=si+l(Xi), i= 1, 2, .... N— \.
Отсюда, учитывая выражения для функций s,(x), получаем при г=0, 1,. . . , N—1 уравнения
di = 0Ul + bi+l (Xi — Х;+1) + |
(X; — X;+1)2 + —— (Xi — XI+1)3. |
2 |
6 |
HI
Обозначая hi=xt—xf-i, перепишем эти уравнения в виде
h] |
+ |
А? |
|
‘ = 1, 2, |
... , N. |
|
hibi-----f |
= |
|
(2) |
|||
2 |
|
6 |
|
|
|
|
Условия непрерывности первой производной |
|
|
||||
Si (хс) = |
Si+i (Xi), |
i =■ 1» 2, |
... , N |
1, |
|
|
приводят к уравнениям |
|
|
|
|
|
|
dhi - |
-J- hi = bt - |
Д_х, 1 = |
2,3, |
|
(3) |
|
Из условия непрерывности второй производной получаем урав
нения |
i= 2,3,...,N . |
(4) |
dih^Ci—Ci-i, |
||
Объединяя (2) — (4), получим |
систему 3N—2 уравнений |
относи |
тельно 3N неизвестных bu си dt, 1= 1 , 2 , ... , N.
Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для s(x). Предположим, например, что функ
ция f(x) |
удовлетворяет условиям f"(a)=f"(b)= 0. Тогда естест |
||||||
венно |
требовать, |
чтобы |
s"(a)—s"(b) = 0. |
Отсюда получаем |
|||
si(* o ) = |
0 , |
S N ( X N ) = |
0 , |
т . е. c |
t — d,AJ= 0, |
с ы = 0. |
с уравнением (4) |
Заметим, что |
условие |
с,—d,/i,=0 |
совпадает |
||||
при t=l, если положить с0=0. Таким образом, приходим к замкну той системе уравнений для определения коэффициентов кубиче ского сплайна:
М ; = с,—Cj-i, i= 1, 2, ..., |
N, |
C0= CJV= 0, |
(5) |
||
|
ft;? |
b;-i, i = 2, |
3, . .. , Al, |
(6) |
|
kfii---- —di = b: |
|||||
h* |
2 ft® |
Л - i , |
i = l , 2 , . . . , N . |
(7) |
|
hcbi------с; |
4-----di = f, |
||||
l |
6 |
|
|
|
|
Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. Исключим из (5) —(7) переменные bu dit i =l , 2, ..., N—1 , и по лучим систему, содержащую только с,, 7=1,2,.. . ,Л7—1. Для этого рассмотрим два соседних уравнения (7):
, |
<4 |
А? , , |
h - f t-г |
, |
bi = |
— Ci---- |
-- di н------ |
ft------£ |
|
|
2 |
6 |
|
|
< |
hi-1 |
^г'-t |
^ | /i-l 7j-2 |
|
bi-1 = ——■Ci_!-----— di-.1 ч------- |
ft,--------, |
|||
|
2 |
6 |
|
|
и вычтем второе уравнение изпервого. Тогда получим
bi — bi-t - |
|
|
= 1 {hid - hi—iCi—i) - |
- (tidi - hUdi-i) + |
- |
* |
6 |
k; |
142 |
|
|
Подставляя найденное |
выражение |
для |
bi—b{- 1 |
в правую |
часть |
||||
уравнения (6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
hid “I- hi—iC—i |
h12 - 1 |
di—i |
|
|
|
Г/1- / 1-1 |
fi-r-fi- |
(8) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
hi |
|
|
Далее, из уравнения (5) получаем |
|
|
|
|
|
||||
h id - c = |
h i ( C i |
C i _ ^ ) , |
/ 1i—i d . i —i |
|
h i —i ( C i—i |
£7 —2) |
|
||
и, подставляя эти выражения в (8), |
|
приходим к уравнению |
|
||||||
/ i i _ iC , - 2 + 2 |
+ |
/li) C i- 1 + |
hid = |
6 |
f |
Ai |
Ai-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
||
Окончательно для определения коэффициентов ct получаем си стему уравнений
hiCi-1 + 2 (he -(- hi+1) Ci -(- hi +icI +1 = |
6 ^ ^ ---- ----------——- j , (9) |
|
i= l , 2 ........ |
Л/—1 , |
с0=ся= 0. |
В силу диагонального преобладания система (9) имеет единст венное решение. Так как матрица системы трехдиагональная, ре шение легко найти методом прогонки, которая в данном случае устойчива (см. п. 7 § 4 ч. I). По найденным коэффициентам с,- ко эффициенты Ь{ и di определяются с помощью явных формул
k; |
h; |
di |
~ di + |
f t - f t |
(10) |
|
hi |
||
|
Таким образом, доказано, что существует единственный куби ческий сплайн, определяемый условиями а) —в) и граничными ус ловиями s"(a)=s"(b)=0. Заметим, что можно рассматривать и другие граничные условия.
2. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплай нами*). Покажем, что интерполирование кубическими сплайнами является сходящимся процессом, т. е. при неограниченном увели чении числа узлов N соответствующая последовательность сплайнфункций сходится к интерполируемой функции f(x). Оценки по грешности интерполяции r(x)=f(x)—s(x) зависят от выбора сеток
и от гладкости f(x). Для простоты изложения будем рассматри вать сейчас последовательность равномерных сеток
(Hh={Xi=a+ ih, i= 0, l ........ |
TV} |
*) Изучение этого раздела не обязательно для понимания дальнейшего ма териала. Более подробное изложение см. в [201.
143
сшагом h= (b—a)/N. В этом случае основная система уравнений
(9)принимает вид
С;-1 + 4Ci 4- Cin = 6f-xi, |
i = 1>2, . . . , N |
1, |
(11) |
|
|
Со— Ск= 0, |
|
|
|
где обозначено f-xj |
= (/i-i-2/;+ /i+1)/ft2. |
|
|
|
От функции f(x) |
будем требовать существования |
непрерывной |
||
на [а, Ь] четвертой |
производной, |
f (х) e C (i|[a, 6]. |
Кроме |
того, |
предположим, что выполнены |
граничные |
условия f"(a)=f"(b)= О |
|
и такие же условия для сплайнов. Обозначим |
|||
1ё W |\c[a,b] = |
Iв |
(X) I. М 4 = |
1/(4) WIС[а.ЬУ |
Пусть sh(x) — кубический сплайн, построенный для функции f(x) на сетке со*. В следующей теореме приведены оценки погрешно
сти интерполяции для функции f(x) |
и ее производных f'{x), |
}"{х). |
|||||||||
Т е о р е м а |
1. Для |
|
Ь] |
справедливы оценки |
|
|
|||||
|
|
||/ ( * ) - 5;!(х)||С[а1Й]< Л У 1\ |
|
|
(12) |
||||||
|
|
IIГ (х) — s'n (X) ||qa,b] SS M4h \ |
|
|
(13) |
||||||
|
|
\\r(x)-s':t(x)\\C[aib]^ M |
4h\ |
|
|
(14) |
|||||
Из этих оценок следует, что при h-*-0 (т. е. при N-+-оо) |
после |
||||||||||
довательности |
stfix), i=0, 1, 2, сходятся |
соответственно |
к |
функ |
|||||||
циям f(i>(х), i= 0, 1, 2. |
теоремы |
1 |
потребуется |
следующая лем |
|||||||
Для доказательства |
|||||||||||
ма 1, в которой даны |
оценки погрешности f"{x^ — s!l(xi) |
в узлах |
|||||||||
сетки. Будем обозначать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
11<р(-*)1-(Ш/1, = |
max |
1ч>(**)1- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
Л е м м а |
1. |
Для Д х )е С (1)[а, Ь] |
справедливы оценки |
|
|
||||||
|
|
i r w - s . : w n Cftefc)< - ^ - A a. |
|
|
ns) |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку |
s^{xt)=си где с,- —решение |
|||||||||
системы ( 1 1 ), |
достаточно |
получить |
оценку для |
погрешности zt= |
|||||||
=Ci—f"(Xi), |
t'= 1,2, . . . , N —1. Подставляя |
Ci=zt+ |
fi в (1 1 ), |
полу |
|||||||
чаем для Zjуравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
zi- 1+ 4zi+ z i+1 = i|ii, |
i =l , |
2, ..., N—1, 20= zw= 0, |
|
(16) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^■ = |
6/ ^ - ( / / и |
+ |
4/: + /м). |
|
|
(17) |
|||
Оценим решение системы уравнений (16) через правые части Для этого перепишем уравнение (16) в виде
4z(= —Zi-i—zi+i+t|}i
144
и воспользуемся неравенствами
4 | г; | =s= I z;-i 1+ I Zi+i | + | г|); | < 2 1 г ||C(<%) + II 'I’ |c^ k) •
Так как это неравенство справедливо при всех i, оно выполня ется и в топ точке х{=хк, в которой достигается максимум [z;|, т. е. в точке, где
Поэтому выполняется неравенство |
|
4 121с(юА) ^ 2 12 llc(o);,) + I 'Р Ис(аА)' |
|
т. е. |
|
II f " ( x ) - s h(x) |C(<Bh)^ - ||'H c (ffl/l) • |
(18) |
Для того чтобы получить отсюда неравенство (15), осталось оценить ||'Р||С(мя). где ч|з( определено согласно (17). Перепишем гр*
в виде
^ = 6 (/b i i - / '; ) - / ^ ( n b , |
(19) |
и воспользуемся разложениями (см. п. 1 § 4 ч. I)
fxx.i = |
/ 'V (b)i |
Ь S ( X i - U X i + l ) , |
(D-xxi = r & ) , |
b e |
(xc. u xUl), |
справедливыми для /( r ) e C (4)[a,f)]. Тогда из (19) получим
^ ■ = ^ / ,v ( b ) - /t 2/lv(b),
т. е. при любом i = l , 2 , . . . , N—1 справедлива оценка
| | s? - 7 h2 max |
| / IV (х) |, |
|
2 |
х<=[а,Ь] |
|
И ЛИ |
|
|
|| ^ ||с(сол) ^ |
1,51г2м4, |
|
где М4= max | / IV(x)|. Отсюда |
и из |
(18) получаем требуемое не- |
* е [а ,й ] |
|
|
равенство (15). Лемма 1 доказана.
ку |
Перейдем к доказательству теоремы 1. Получим сначала оцен |
||||||
(14) |
погрешности f"(x) —s' (х), |
|
возникающей при интерполи |
||||
ровании |
f(x) кубическим |
сплайном |
sh(x). |
Рассмотрим |
отрезок |
||
[xi-ly х{], где i — любое из |
чисел |
1, 2, ..., |
N. На этом |
отрезке |
|||
s" |
(х) =Ci-\-d,(x—x,) и согласно (4) |
имеем |
|
|
|||
|
|
s’h (х) = |
ci + |
^ |
1~х (х — Xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145 |
или |
|
|
|
s"h(.*) = |
ad + |
(1 — ос) С/—!, |
|
где |
|
|
|
а = |
|
1— а = |
(20) |
h |
|
h |
|
Для сеточных функций v, определенных на сетке соЛ, обозначим |
|||
У(а) = |
a v i + |
(1 — ос) V i - U |
|
так что |
S" (*) = cf. |
|
|
|
|
||
Воспользовавшись тождеством
Г(х) = ( Г Г + ( Г ( х ) - Г Г ,
■представим погрешность f" (х) —s" (х) в виде
|
|
г м |
- |
si (х) = if; - |
а г |
+ |
(/" w |
- |
/о(а)- |
|
|||
Отсюда получаем неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I Г |
(х) — Sh (X) I ss |
I (/;• - |
Cl)(a) I + |
I ( f |
(*) - |
П Г I, |
(21) |
|||||
справедливое |
для |
любого |
х ^ [ х {-^, х{]. |
Оценим |
отдельно |
каждое |
|||||||
из двух слагаемых в правой части неравенства |
(21). Для |
первого |
|||||||||||
слагаемого, учитывая лемму 1, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(/г —Сс)(а) | = | ос (П — а) + (1 |
— ос) (/;_! — си ) | < |
|
|
|
|||||||||
|
^ ОСI/" ( X ) |
— |
Sh (х) ||C(a,ft) + |
(1 — |
ОС) II /" ( X ) |
— S h (х) Цс,^) ^ |
j M J l 2, |
||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (/;- с ,- Г | 5 £ - М 4/г2. |
|
|
|
(22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Далее, рассмотрим выражение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(/" (*) - |
Г Г = «(/" (*) -/")+(1 - |
«) (/" (*) - Г-П- |
|
|||||||||
По формуле Тейлора имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г |
(х) - |
Г =ф - |
х ц г |
(х) - |
Г |
г |
Г |
г |
(у , |
|
||
|
/" (X) - Г |
= ( х - |
х Г |
Г (х) - |
{Х~ ХГ |
. Г |
(У, |
|
|||||
где |
^е(А\_,, Xi). Отсюда и из (20) |
получим |
|
|
|
||||||||
(Г (х) - |
Г Г = [ а ( х - Х1) + ( \ - а ) ( х - хи )]Г Г ) ~ |
|
|
||||||||||
|
- 1 |
[«(х - |
х,у f'v (I) + |
(1 - |
сс) (* - |
ХпО2Г |
(?«)] = |
|
|||||
|
|
= |
- |
|
|
г |
-х) Г |
(Ь)+ (х- |
/'v(COJ. |
||||
146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что |
|
< — max [(х — X i - i ) ( X i —x)] {.Vf4(xt — x) + |
/И4(x — x,^)} = |
2Л |
|
Итак, второе слагаемое в правой части неравенства (21) оце |
|
нивается следующим образом: |
|
1 (Г (* )-/0 <а’ К ^ о 2- . |
(23) |
Подставляя оценки (22) и (23) в неравенство |
(21), получим |
| r ( x ) - s ' h( x ) \ ^ ™ f - |
(24) |
для любого А е [Xi-UXi]. Поскольку неравенство (24) справедливо |
|
для любого i=l, 2,. . . , N, из него следует оценка (14). |
|
Докажем теперь оценку (13). Рассмотрим на отрезке [х(_,, х;] функцию r(x)=f(x)—sh(x). По определению сплайна имеем r(x{-i)=r(xi)=0, следовательно, найдется точка |е ( х ;-,,Х;), в ко торой г'(£)=0. Поэтому
|
I г'(х) | = | г' (х) - г ' (|) | = | г" а ) (х- D к | г" |
| к |
где |
(*(_,, х;) . Таким образом, |
|
|
l/'( * ) - < ( x ) i< ir ( D - s ;( S ) |f t, |
|
и, учитывая (14), получим неравенство |
|
|
|
I /' (X) — sfti(x) I eg М4А», |
|
из которого следует оценка (13). |
точка из ин |
|
|
Осталось получить оценку (12). Пусть х —любая |
|
тервала (х;_!, х(). Введем функцию |
|
|
|
£ (0 = /(0 - М 0 - * (* - * < - .) |
(25) |
где £e[Xi-,,Xi] и /( —постоянная, выбираемая из условия g(.v)=0, т. е.
у- . f(x)-Sh (*)
(х — х ^ ) (х — xt)
Имеем £(Xi_,)=g(Xi)=g(x)=0. Поэтому найдется хотя бы одна точка |e(Xi_,,Xi), в которой g "(|)= 0 . Поскольку
g"(t)= f"(t)~ sh(t) -2K ,
получим
т. е.
ч |
.ч |
И ю - * ; ( а , |
/ (х) — S h (X) = |
------ ------ (X — АМ) (X — |
|
X i ) .
147
Отсюда и из (14) получаем неравенство
I / (х) — яЛ(х) к Z иг |
М —s; (х) |C(W/1) 44- sT 6 , |
которое и приводит к оценке |
(12). Теорема 1 доказана. |
§5. Другие постановки задач интерполирования
иприближения функций
1.Примеры. Во многих случаях возникает необходимость при ближенной замены данной функции другими, более простыми функциями. Одним из способов такой замены является интерпо ляция алгебраическими многочленами, подробно рассмотренная в
предыдущих параграфах. Однако не всякую функцию целесооб разно приближать алгебраическими многочленами. Отметим в виде примеров несколько других способов интерполирования.
Пр и мер 1. Тригонометрическая интерполяция. Если f(x) —
периодическая функция с периодом /, то естественно строить при ближения с помощью функций
ф* (*) = Щ cos — 1- bk sin —j—, к = 0, 1
Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в за мене f(x) тригонометрическим многочленом
тп(х) = 2 |
ФА(х) = |
а0-f |
^ |
(«йCOS |
+ bksin |
, |
/ г = о |
|
k =i |
4 |
|
|
|
коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений |
||||||
|
Tn(xj)=f(xj), |
/=1, 2........2/1+ 1, |
|
|||
где x0< x t<. . .< -^2n+lJ -^2п+1 |
*0 |
|
|
|
|
|
П р и м е р 2. |
Приближение рациональными функциями. Пусть |
|||||
значения функции }(х) заданы в точках x0<Xi< - . ,<хп. Требуется построить функцию
akxk + |
ak_vxk 1 + |
.. . + |
а0 |
(1) |
Фа; М |
|
|
|
|
х1+ b[_yx l 1 + .. . + Ь0 |
|
|||
(k, l —заданы), для которой |
|
|
|
|
фu(xj)=f(Xj), |
/ = 0, |
1, ..., |
п. |
(2) |
Уравнения (2) представляют собой систему из п+ 1 уравнения от носительно k + l+ 1 неизвестного а0, аи ..., ak, Ьа, Ьи ..., Бу дем требовать, чтобы число уравнений равнялось числу неизвест ных, т. е. «=& + /. Тогда придем к системе линейных уравнений2
2 |
— ft 2 biX' = fjX1., j — 0, 1, . . ., |
(3) |
1=0 |
1=0 |
|
148
в которой |
неизвестными являются |
величины |
аи i= 0, |
|
и bu i= 0, 1, . . . , 1. |
|
|
|
|
П р и м е р |
3. Дробно-линейная интерполяция. Пусть значения |
|||
функции f(x) |
заданы в трех узлах, а именно в точках xt- u xit xi+u |
|||
причем xi- l<xi<xi+1. Построим функцию |
|
|||
|
ср (х) = |
aix + |
а0 |
(4) |
|
|
х+ Ь0 |
|
|
для которой |
ср(х.,)=Дх^, j=i—1, i, г+1. Данная |
задача является |
||
частным случаем задачи, сформулированной в предыдущем при мере, когда k=l= 1. Поэтому для определения коэффициентов
а0, аи Ьа можно воспользоваться системой уравнений |
(3), которая |
||||
в данном случае примет вид |
|
|
|
|
|
ф| + |
b j ;_ i = |
Х{- i f l - i , |
|
||
|
а0+ |
ayxi — b0fi = Xifi, |
(5) |
||
UQ “ Ь |
b g f i + l = X t + l f l + 1- |
|
|||
Найдем в явном виде решение этой системы. Обозначим |
|||||
Ы = хс—xi-u |
/г;+1 = |
xi+l —xi, |
Tic= |
0,5 (/ii+1 + |
K), |
fx,i = (/‘ |
fc-i)/hl, fx,i = |
{fi+i |
fi)lhi+1, |
|
|
|
fxS.i=(fx.i-fx.i)hi. |
|
|
||
Применяя последовательное исключение неизвестных, приведем систему (5) к треугольному виду
a0+ a 1xi — b0fi = Xifi, |
|
|
||
ai |
~ |
boh.i=--(xf h i ’ |
(6) |
|
|
— bofxi.i = (xf)^j |
|
||
Если f-£i =т^О, то из (6) последовательно найдем |
||||
b. — - W)- |
, a i = f r |
2h U |
||
f-~ . ’ |
* " |
f-~ . |
||
X X |
,1 |
|
' X X |
,1 |
^ X X , i
При проведении вычислений по этим формулам может оказаться полезным тождество
(*/)«./= |
+ |
h+1 - U- |
|
ь., |
|||
|
|
Используя приближение с помощью рациональных функций, необходимо следить за тем, чтобы на отрезке интерполирования знаменатель выражения (1) не обращался в нуль. Другой опас ностью является такой неудачный выбор узлов интерполирования, при котором числитель выражения (1 ) делится без остатка на зна-
149
мепатель. В последнем случае дробно-линейная функция (4) вы рождается в константу.
В качестве примера рассмотрим функцию f(x)=kx2, k¥=0. Для
нее f-~ |
и система (6) имеет единственное решение |
|
Ь0 — — (*;-1 + Xi + JCi+i), |
|
7 7— к {Xi~\Xi -f- Xi—iXi+ XiX[.)), |
|
a0= kxi-iXcXi |
причем
aib0—a0=k(xi+1 + xi- l) [х{( х ^ + х{-\-х1+1) + xi+iXi-i].
Следовательно, приближение f(x) с помощью функции (4) не возможно вблизи точки х= —b„=xi- l-\-xi+ xi+i. Кроме того, условие а^о—йоФО приводит к следующим ограничениям на расположениеузлов интерполирования:
Xi+i + X i - ^ O , X iiX i- ^ - X i + X n .,) + x i+lX i - ^ 0 .
П р и м е р 4. Двумерная интерполяция. На плоскости хОу за даны три точки А{(х{,у {), i= 1,2,3, не лежащие на одной прямой. Требуется, используя значения и{=и{х{, г/,-) функции и(х,у) в этих точках, построить аппроксимацию производных ди/дх, ди/ду. Для решения этой задачи воспользуемся линейной интерполяцией, т. е. будем считать, что
u (x,y)= a(x -xl) + b ( y - y l)+c. |
(7) |
Тогда получим, что ди/дх=а, ди/ду=Ь, т. е. при интерполяции: функции и (х, у) с помощью линейной функции производные заме няются константами. Явные выражения для коэффициентов а, Ь, с нетрудно найти из условий интерполирования u(xi,yl)= u i. Дейст вительно, из условия и(хи у,)=и1 получаем, что с=ц,. Далее, ре шая систему
а(х2 — Xj) + b (у2 — уд =--; u2 — ult
а(х3— A'J) + b (у3 — yj) = и3 — ии
получим
“ 2 — « 1
«з — “ 1
где
Уз — У\ , |
Хч — JCi |
и, — их |
( 8> |
ь = - ^ |
— Ui |
||
Уз — У1 |
д — *1 |
|
Уз — Уг Уз~У\
Выражения (8) и задают искомые приближения к производным
ди/дх, ди/ду.
Определитель Д данной системы не равен нулю, так как по ус ловию точки Аи А2, А3 не лежат на одной прямой.
Заметим, что соотношения (7), |
(8) можно записать в виде |
U — Щ X — JCj |
у — уу |
ц2 — щ х2— хг У ч — у, = 0, |
|
и 3 — «1 Х 3 — X , |
У з — у ! |
>50