teor_pogr_zachita
.pdfè os dyn . |
7.1.7 |
Когда повторными измерениями обнаружена внешняя случайная погрешность, соизмеримая с систематической инструментальной по! грешностью, то используется математическая модель
|
o |
|
è os |
7.1.8 |
|
или |
|
|
o |
l |
|
è os ci . |
7.1.9 |
|
i1
Последний случай (7.1.9) для обработки результатов самый слож! ный, так как для получения погрешности измерения должны учиты! ваться инструментальная, дополнительная и внешняя случайная по! грешности.
Рассмотрим порядок получения результата измерения с использо! ванием представленных выше математических моделей погрешности измерения.
7.1.1. Обработка результатов прямых измерений с использованием только систематической погрешности средства измерения
В этом случае имеем математическую модель погрешности изме!
рения по формуле u = os.
По ГОСТ 8.009–84 систематическая основная погрешность нор! мируется её границами osp, установленными с доверительной вероят! ностью Pд = 0,95 или Pд = 0,997, а также средним квадратическим откло! нением [ os] систематической погрешности для всего типа средств из! мерения.
Если систематическая погрешность задана границами, то резуль! тат измерения представляется в одном из двух видов:
xè osp xä xè osp , xä xè # osp . |
7.1.10 |
Если погрешность задана средним квадратическим отклонением, то
xä xè # k [ os ], |
7.1.11 |
где xд – действительное значение измеряемой физической величины, xu – показания средства измерения, k = 2 при доверительной вероятно! сти нахождения систематической погрешности в интервале osp, равной 0,95, и k = 3 при доверительной вероятности, равной 0,997.
141
7.1.2. Обработка результатов прямых измерений при наличии систематической и внутренней случайной
составляющих инструментальной погрешности
Врассматриваемом случае используем математическую модель по! грешности измерения по формуле (7.1.5).
Внормативно!технической документации на средство измерения должны быть указаны границы систематической погрешности osp, среднеквадратическое отклонение систематической погрешности
[ os], а также среднеквадратическое отклонение случайной погрешно!
o
сти, порождённой процессами внутри средства измерения [ o].
Для представления результата измерения в этом случае прежде всего необходимо найти суммарное среднеквадратическое значение погрешности измерения [ os. o o], которое находится суммированием
o
среднеквадратических значений [ os] и [ o]. Поскольку среднеква! дратическое значение систематической погрешности не коррелирован! но со среднеквадратическим значением случайной погрешности сред! ства измерения, то суммирование нужно проводить геометрически:
o |
|
o |
|
[ os o ] |
( |
[ os ])2 ( [ o ])2 . |
7.1.12 |
Результат измерения представляется в виде |
|
||
o |
|
o |
|
xè k [ os o ] xä |
xè k [ os o ] |
7.1.13 |
|
или |
|
o |
|
|
|
|
|
xä xè # k [ os o ]. |
7.1.14 |
||
7.1.3. Обработка результатов прямых измерений при наличии систематической, внутренней случайной
и гистерезисной составляющих инструментальной погрешности
Используем математическую модель погрешности измерения по формуле (7.1.5).
Для реализации принятой модели измерения в нормативно!техни! ческой документации на средство измерения должны быть указаны границы систематической погрешности osp, среднеквадратическое от! клонение систематической погрешности [ os], среднеквадратическое значение случайной составляющей основной погрешности средства
o
измерения [ o] и среднеквадратическое значение основной погреш!
o
ности, обусловленной гистерезисными явлениями [ oH].
142
Если в нормативно!технической документации задано среднеква! дратическое отклонение систематической погрешности, то геометри! ческим суммированием, поскольку погрешности не зависимы, нахо! дится среднеквадратическое значение суммарной погрешности изме! рения
o o |
o |
o |
|
[ os oH o ] |
( [ os ])2 ([ o ])2 |
( [ oH ])2. |
7.1.15 |
Результат измерения представляем в виде |
|
|
|
o |
o |
o o |
|
xè k [ os oH |
o ] xä xè k [ os |
oH o ] |
7.1.16 |
или |
o o |
|
|
|
|
|
|
xä xè # k [ os oH o ]. |
|
7.1.17 |
|
Если в нормативно!технической документации не задано средне! квадратическое отклонение систематической погрешности, то тогда для получения результата измерения несколько иной порядок действия.
Вначале определяется среднеквадратическое значение случайных погрешностей
o o |
o |
o |
|
[ o oH ] |
([ o ])2 |
([ oH ])2 . |
7.1.18 |
Затем определяются границы доверительного интервала для слу! чайных погрешностей:
o o |
|
oo k [ o oH ]. |
7.1.19 |
Границы суммарной погрешности находятся геометрическим сум! мированием доверительных интервалов систематической и случайной погрешностей при условии одинаковости законов распределения всех случайных величин (7.1.18) и (7.1.19):
|
3p |
( |
osp |
)2 ( |
oo |
)2 . |
7.1.20 |
|
|
|
|
|
Результат измерения:
xä xè # 3p . |
7.1.21 |
Зная границы доверительного интервала систематической по! грешности, можно найти среднеквадратическое отклонение система! тической погрешности
[ os ] osp , k
143
где k – квантильный множитель, равный 2 или 3 при нормальном зако! не распределения и доверительной вероятности 0,95 или 0,997. Затем геометрически суммируются все среднеквадратические отклонения и находится СКО суммарной погрешности:
[ 3 ] [ os ]2 |
o |
o |
|
[o ]2 |
[oH ]2 . |
7.1.22 |
Границы максимального интервала суммарной погрешности
3p k [ 3 ]. |
7.1.23 |
Результат измерения представляется в соответствии с (7.1.21).
7.1.4. Обработка результатов измерений при наличии систематической, дополнительной и динамической составляющих инструментальной погрешности
При таких измерениях могут присутствовать все три составляю! щие погрешности или их комбинации по две (7.1.6, 7.1.7).
Систематическая погрешность оценивается своими границами, которые устанавливаются для средств измерения одного типа и одного завода!изготовителя. Она закладывается в средство измерения при его проектировании и нормируется после изготовления. Для конкретного средства измерения систематическая погрешность постоянна, но не известна. Известно только, что она лежит в интервале osp. Системати! ческая погрешность по мере старения прибора изменяется (гл. 9).
Дополнительная погрешность прибора определяется условиями эксплуатации в рабочем диапазоне влияющих величин, имеет детерми! нированную зависимость от значения этих величин и не связана никак с систематической погрешностью.
Динамическая погрешность средства измерения зависит от скоро! сти изменения измеряемой физической величины. В каждый момент времени процесса измерения она различна (гл. 8).
Таким образом, систематическая, дополнительная и динамическая погрешности имеют различную природу, разный временной характер проявления и по!разному зависят от условий эксплуатации. Они не мо! гут быть оценены какой!то суммарной погрешностью. В результатах измерения эти погрешности представляются раздельно, каждая со сво! ей оценкой.
144
7.1.5. Обработка результатов измерений при наличии систематической инструментальной и внешней случайной составляющих погрешности
Используем математическую модель погрешности измерения по формуле (7.1.8). Для оценки суммарной погрешности измерения выбе! рем j#й прибор из партии однотипных средств измерения и проведём с ним измерительный эксперимент.
Известно, что выбранное средство измерения имеет систематиче! скую погрешность os. Об этой погрешности известно, что для выбран! ного средства измерения она постоянна, по крайней мере на протяже! нии измерительного эксперимента, и находится в нормированном ин! тервале osp, установленном для выбранного типа приборов.
Выбранным средством измерения провели измерение физической величины xд в отсутствие случайных погрешностей и получили показа! ния прибора xuj, которые отличаются от действительного значения на величину систематической погрешности
osj xèj xä . |
7.1.24 |
Далее, этим же прибором провели измерение той же физической величины xд, но в условиях действия помех, которые создают случайные погрешности измерения, и получили множество показаний прибора:
xè {xè1 xèi xèn }. |
7.1.25 |
Отклонение отдельного измерения xui от xuj равно:
|
xi |
xèi xèj . |
|
7.1.26 |
|||
Среднее арифметическое значение измеренной физической вели! |
|||||||
чины, которое войдет в результат измерения: |
|
||||||
|
|
1 |
n |
|
|
||
|
xè |
xèi . |
|
7.1.27 |
|||
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
Отклонение xu от xuj для j!го средства измерения равно: |
|
||||||
o |
|
|
1 |
|
n |
_ |
|
[ xj |
] |
|
|
(xèi |
xè )2 . |
7.1.28 |
|
|
|
|
|||||
|
|
n(n 1) 1 |
|
|
|||
o
Таким образом, [ xj] есть среднее квадратическое отклонение
среднего арифметического – от показаний средства измерения в от!
xu xuj
сутствие случайной погрешности.
145
В свою очередь, xuj отличается от действительного значения изме! ряемой физической величины xд. Среднеквадратическое значение это! го отличия для партии средств измерения
osp |
[ os ]. |
7.1.29 |
|
||
k |
|
|
Суммарное среднеквадратическое отклонение среднего значения
показаний прибора – от действительного значения измеряемой вели! xu
чины равно:
|
o |
|
|
[ 3 ] [ os ]2 [ xj |
]2 . |
7.1.30 |
|
Границы результирующей погрешности |
|
|
|
3p |
k [ 3 ], |
|
7.1.31 |
а результат измерения |
|
|
|
xä |
xè # 3p . |
|
7.1.32 |
7.2. Обработка результатов косвенных измерений
При осуществлении косвенных измерений искомая физическая величина находится путём вычислений с использованием результатов прямых измерений других физических величин, функционально с ней связанных.
Представим измеряемую косвенно физическую величину как функцию нескольких прямо измеряемых величин:
y f (x1 xi xn ), |
7.2.1 |
где x1...xj...xm – физические величины, определяемые прямыми измере! ниями, y – искомая физическая величина, определяемая косвенными измерениями.
После проведения измерений имеем другую функцию:
yè f (xè1 xèj xèm ), |
7.2.2 |
где xи1...xиj...xиm – показания индикаторов m средств измерения, уча! ствующих в измерительном эксперименте.
При прямом измерении j!й физической величины имеет место по! грешность измерения
j xèj xj . |
7.2.3 |
146
Без учёта случайной, дополнительной и динамической погрешно! стей погрешность измерения j!й физической величины будет опреде! ляться первой математической моделью погрешности измерения и бу! дет состоять из одной систематической составляющей, задаваемой до! верительным интервалом osp, среднеквадратическим отклонением[ os] или тем и другим.
Абсолютная погрешность косвенно измеряемой физической вели! чины равна:
y yè y. |
7.2.4 |
Эта погрешность определяется погрешностями участвующих в экс! перименте приборов и находится их суммированием с учётом весовых коэффициентов. Поскольку при проведении косвенных измерений ис! пользуются разнотипные приборы с известными среднеквадратически! ми отклонениями систематической погрешности, результирующее зна! чение среднеквадратической погрешности косвенных измерений нахо! дится геометрическим суммированием среднеквадратических погреш! ностей участвующих в эксперименте приборов (6.3.8), (6.3.9).
m |
|
( osp )y [kxj ( osp )j ]2 , |
7.2.6 |
j1
где kx1...kxj...kxm – весовые коэффициенты погрешностей, определяемые частными производными в соответствии с формулой (6.3.8).
Рассмотрим пример измерения электрической мощности, выделя! емой на нагрузке электрическим током методом амперметра и вольтметра:
P UI, |
7.2.7 |
где I – ток, протекающий по нагрузке и измеряемый амперметром, U – падение напряжения на нагрузке, измеряемое вольтметром.
Весовой коэффициент погрешности вольтметра
k |
|
−P |
|
−(UI) |
I, |
7.2.8 |
−U |
|
|||||
U |
|
|
−U |
|
||
а весовой коэффициент погрешности амперметра
kI |
−P |
|
−(UI) |
U. |
7.2.9 |
−U |
−I |
||||
|
|
|
|
|
Интервал погрешности измерения мощности, в соответствии с формулой (6.3.13), равен:
( |
osp |
) |
P |
|
[k ( |
) |
]2 [k ( |
) ]2 . |
7.2.10 |
|
|
|
U |
osp U |
I osp |
I |
|
147
Результат измерения:
P Pè # k( osp )P . |
7.2.11 |
В (7.2.11) Pи = UиI – мощность, вычисленная по показаниям вольт! метра и амперметра.
Рассмотрим численный пример косвенного измерения мощности. Пусть показания вольтметра равны: Uи = 5,00 B, границы систематиче! ской погрешности вольтметра ( osp)U = 0,10 B; показания амперметра равны Iи = 1,00 B, границы систематической погрешности амперметра
( osp)A = 0,010 A.
В соответствии с формулой (7.2.10) интервал погрешности для мощности равен:
( |
osp |
) |
P |
|
[k ( |
) |
]2 [k ( |
) ]2 . |
7.2.12 |
|
|
|
U |
osp U |
I osp |
I |
|
По формуле (7.2.8) весовой коэффициент погрешности вольтме! тра kU = 1,00 A, а по формуле (7.2.10) весовой коэффициент погрешно! сти амперметра kI = 5,00 B.
После подстановки численных значений в (7.2.12) получается
( osp ) (1,00 0,10)2 (5,00 0,010) 2 0,11 Âò.
Результат измерения мощности:
P 5,00 # 0,11 Âò.
Относительная погрешность измерения мощности
+ |
|
|
0,11 |
0,022; |
+ 2,2 %. |
|
P |
|
5,00 |
|
P |
7.3. Обработка результатов совместных измерений
Обработку результатов совместных измерений рассмотрим на при! мере градуировки термопары, подобно тому как это было сделано в п. 6.4.2. Различие будет состоять в том, что инструментальная погреш! ность вольтметра и термометра нормируются не классом точности средства измерения, а границей систематической погрешности osp или её среднеквадратическим отклонением [ os].
Уравнение преобразования термопары:
U )(t tx ) (t tx )2, |
7.3.1 |
148
где t – температура в термостате, куда помещен горячий спай термопа! ры, tx – температура холодных концов термопары (температура окружа! ющей среды), U – напряжение на концах термопары, ) и – коэффи! циенты, аппроксимирующие уравнение преобразования термопары.
Для нахождения коэффициентов ) и проводят два совместных измерения напряжения и температуры, при разных значениях устано! вленной в термостате температуры, и получают два уравнения:
U |
1 |
)(t |
t |
x |
) (t |
t |
x |
)2 |
, |
7.3.2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
U2 |
)(t2 tx ) (t2 tx )2. |
7.3.3 |
||||||||
В полученных уравнениях U1 и t1 – напряжение на концах термо! пары и температура горячего спая при первом измерительном экспери! менте, U2 и t2 – то же, но при втором измерительном эксперименте с другим значением температуры в термостате.
Коэффициенты ) и находятся в результате решения уравнений (7.3.2) и (7.3.3).
После решения уравнений получаются два выражения для расчёта искомых коэффициентов:
) U2t12 U1t22 , t2t12 t1t22
|
U |
1 |
|
U t3 |
U t2t |
. |
|
||||
|
|
2 1 |
|
1 2 |
1 |
7.3.4 |
|||||
t |
2 |
t t |
4 |
3 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
t t |
2 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 1 |
1 |
|
|
|
|||
Погрешность нахождения коэффициентов будет определяться по! грешностью измерения напряжения и температуры. При использовании математической модели (7.1.4) погрешности вольтметра и термометра определяются только систематической погрешностью. Систематическая погрешность по ГОСТ 8.009–84 нормируется доверительным интерва! лом osp, в котором с заданной доверительной вероятностью Pд находится систематическая погрешность, и средним квадратическим отклонением систематической погрешности от своего среднего значения [ os].
Весовые коэффициенты погрешностей вольтметра и термометра при определении погрешностей нахождения коэффициента ) находят! ся как частные производные:
|
−) |
|
|
−) |
|
−) |
|
|
−) |
|
7.3.5 |
|||
k)U 2 |
|
|
; |
k)U 1 |
|
|
; |
k)t 1 −t |
; |
k)t 2 |
t |
|
, |
|
−U |
2 |
−U |
1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
где k)U1 и k)U2 – весовые коэффициенты погрешности вольтметра при первом и втором измерениях напряжения, соответственно, k)t1 и k)t2 –
149
весовые коэффициенты погрешности термометра при первом и втором измерениях температуры. Аналогичным образом определяются весо! вые коэффициенты погрешностей вольтметра и термометра при вычи! слении коэффициента .
k |
|
|
− |
; |
k |
|
− |
; |
k |
|
− ; |
k |
|
− . |
7.3.6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
U 2 |
|
−U |
2 |
|
U 1 |
|
−U |
t 1 |
|
−t |
t 2 |
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Среднеквадратическое значение погрешности нахождения коэф! фициента ):
|
(k [ |
|
] )2 |
(k [ ] )2 |
|
|
|
||
[ ) ] |
)U1 |
os U |
)U 2 |
os |
U |
|
. |
7.3.7 |
|
(k [ |
] )2 |
(k [ ] )2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
)t1 |
|
os t |
)t 2 |
os |
t |
|
|
|
Подобным образом находится среднеквадратическое отклонение погрешности вычисления коэффициента подстановкой других весо! вых коэффициентов из ряда (7.3.6):
|
(k |
|
[ |
|
] )2 |
(k [ ] )2 |
|
|
|
|||
[ ] |
|
U1 |
os U |
U 2 |
os |
U |
|
. |
7.3.8 |
|||
(k |
[ |
] )2 |
(k [ |
] |
)2 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t1 |
|
os t |
t 2 |
os |
t |
|
|
|
|
Доверительный интервал для погрешности определения коэффи! |
||||||||||||
циента ) равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( osp )) k [ ) ]. |
|
|
|
|
|
7.3.9 |
|||
Доверительный интервал для погрешности вычисления коэффи! |
||||||||||||
циента равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( osp ) k [ ]. |
|
|
|
|
|
7.3.10 |
|||
Если в погрешности измерения напряжения и температуры при! сутствует случайная составляющая погрешности, обусловленная как внутренними, так и внешними причинами, то в погрешности опреде! ления коэффициентов ) и также появится случайная составляющая погрешности. Среднеквадратические значения случайной погрешно!
o o
сти вольтметра и термометра равны [ ]U и [ ]t, соответственно. Среднеквадратическое значение случайной погрешности опреде!
ления коэффициента находим с использованием формулы (7.3.7), за!
|
|
|
|
o |
o |
|
|
|
|
|
|
|
меняя [ os]U и [ os]t на [ ]U и [ ]t. |
|
|
|
|
|
|
||||||
После замены и подстановки получим: |
|
|
|
|
|
|||||||
î |
|
î |
)2 |
î |
|
)2 |
|
î |
)2 |
|
î |
|
[ ] |
(k [ ] |
(k [ ] |
U |
(k [ ] |
(k [ ] )2. |
7.3.11 |
||||||
) |
)U1 |
U |
|
)U 2 |
|
)t 1 |
t |
|
)t 2 |
t |
|
|
150