1rabinovich_s_g_pogreshnosti_izmereniy

где W1,...,W5 — высота столбцов гистограммы; по условию построения

5

гистограмм площадь всей гистограммы равна единице, т. е. åPik = 1.

k =1

Напомним, что при построении гистограмм (а гистограммы строят по эмпирическим данным) высоту столбца каждого интервала находят

делением частоты попадания значений в соответствующий интервал на длину этого интервала. Частота представляет

собой эмпирически полученную оценку вероятности соответствующего события.

Далее непрерывные случайные величины представим соответствующими им дискретными. Для этого середину каждого интервала lik обозначим aik и введем новую случайную величину ηi , которая соответствует

случайной величине ξi таким образом, что ηi

принимает значение aik с вероятностью pik. Это возможно, так как из вышесказанного видно, что

Полученные данные для каждой случайной величины ηi целесообразно представить таблицей следующего вида:

ηi .

Для подсчетов удобно возможные значения случайных величин выписывать в одну таблицу вида

η1 a11 … a1mi

η2 a21 … a2mi

… … … …

ηт a1n … anmn

Затем вычисляем значения случайной величины η , отвечающие каждой из возможных комбинаций реализаций случайных величин ηi ,

ηi = a1k1 + a2k2 + ... + ankn

и соответствующие им вероятности; последние находим по формуле

Сложив затем вероятности, которые соответствуют одной и той же реализации ηi = at получим вероятности принятия случайной величиной η всех

возможных ее значений a1,...,aN .

точкам присоединим точки, в которых функция распределения принимает значения F1(β0 )= 0 и F1(βn )=1:

F2 (x), которая и является искомым приближением.

Приведенный метод дает решение задачи с использованием всей имеющейся

может отличаться от дисперсии случайной величины ξ . Поэтому при условии

независимости слагаемых дисперсию их суммы нужно вычислять обычным путем,

по формуле

Заметим, что при n > 5 распределение суммы слагаемых можно считать нормальным распределением, которое полностью определяется дисперсией и математическим ожиданием. Оба эти параметра легко вычисляются по параметрам

слагаемых

и поэтому приведенные выше вычисления целесообразны лишь при числе слагаемых п <5.

Нужно также заметить, что приведенный способ построения композиции распределений пригоден и для случая, когда распределения случайных величин заданы в аналитической форме. При этом плавная кривая, выражающая плотность распределений случайной величины ξi заменяется ступенчатой с mi ступенями

так, чтобы ограничиваемая ею площадь, так же как и площадь под плавной кривой, была равна 1. Если ветви плавной кривой функции распределения приближаются к оси абсцисс асимптотически, это распределение заменяется усеченным.

Погрешность, возникающая из-за замены непрерывных распределений дискретными, как показано в работе [30],

≤åli2 max fi' (x),

i=1n

где li — длина интервала, т. е. участка, на котором непрерывный ряд величин заменен одним значением, max fi' (x) — максимальное значение производной от

функции плотности распределения

Очевидно также, что данный метод пригоден и для случая дискретных ξi и

для смешанного случая.

К достоинству метода перебора вариантов нужно отнести то, что он удобен для выполнения с помощью ЦВМ.

примем равной [A − 3σ; A + 3σ ]= [−1;5]. Разобьем этот промежуток на 5 интервалов (mi = 5), симметрично расположенных относительно точки 2 — математического ожидания:

[−1;5]= [−1;0,5]+ [0,5;1,5]+ [1,5;2,5]+ [2,5;3,5]+ [3,5;5].

значения a2k с вероятностями p2k , где k=1, 2, 3. В результате вычислений получили:

оцениваем по формуле (4-9). У нас m1 = 5 , m2 = 3 и N ≤ 15 .

Пользуясь этой таблицей, находим значения η =η1 +η2 . Порядок расчетов ясен из табл. 4-2. Затем располагаем значения ηt в порядке возрастания. Каждому значению ηt отвечает своя

вероятность pt . Если одно и то же значение ηt встречается несколько раз, то вероятность данного значения находится как сумма этих вероятностей. Получаем

Tax как η1 = 1 и η2 = 2 встречались по два раза, то N = 13 .

По полученным данным, используя (4-10), нетрудно построить F1(x). Значения этой функции в

найденных промежутках приведены в табл. 4-3, а соответствующий график представлен на рис. 4-3 в виде ступенчатой линии.

Как уже было отмечено, приближение F2 (x) к предельной функции распределения F(x) можно

улучшить путем уменьшения интервалов разбиения областей изменения исходных случайных величин.

Интересно отметить, что изложенное решение позволяет находить края функции распределения F2 (x) без построения всей функции, что в ряде случаев и составляет основную

задачу.

ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

5-1. Методы обработки результатов наблюдений

при прямых статистических

ГЛАВА ПЯТАЯ измерениях

Рассмотрим прежде всего статистические измерения, при которых многократные

наблюдения выполняются с целью уменьшения влияния случайных погрешностей. Результат каждого наблюдения при этом дает оценку измеряемой величины.

Результат наблюдения отличается от истинного значения измеряемой величины из-

за случайной ψi и систематической ϑi , составляющих погрешности: xi' = A +ψ i +ϑi .

Повторяя наблюдения, мы получаем информацию о случайной погрешности. О систематической погрешности из самих наблюдений информацию извлечь нельзя. Чтобы оценить эту погрешность, надо знать свойства используемых средств измерений, метод измерения и условия измерения.

Предположим, что систематическая погрешность результата каждого наблюдения известна. Тогда, введя поправки Сi = −ϑi , вместо группы xi'

получим группу исправленных результатов наблюдений xi = A +ψi .

Наша задача найти оценку A = f (xi ). Математически обоснованное

решение, отвечающее требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности, можно найти, зная вид распределения xi . Часто

погрешности измерений можно считать имеющими нормальное распределение. То же самое распределение имеют и результаты наблюдений. Соответствие полученных данных нормальному распределению можно проверить методами, приведенными в § 3-4.

При нормальном распределении наблюдений, как показано в § 3-3,

оптимальной оценкой центра распределения А является среднее арифметическое результатов наблюдений

n

A~' = åi=1 xi . n

Если систематические погрешности ϑi =ϑ0 , т, е. они постоянны, то

можно не исправлять результатов наблюдений, а сначала вычислить

предварительный результат измерения

является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой истинного

значения измеряемой величины лишь при нормальном распределении наблюдений. Однако независимо от вида распределения погрешностей

измерений среднее арифметическое обладает двумя важными

Кроме того, для А можно построить доверительный интервал, определяющий доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

Доверительный интервал определяется неравенствами

где ψ x = tqSx , tq — q-процентная точка распределения Стьюдента, зависящая от

доверительной вероятности α и числа степеней свободы k = n −1

(см. табл. П-7).

Неравенства, определяющие границы доверительного интервала для А, можно несколько преобразовать, с тем чтобы определить границы случайной погрешности результата измерения. Из приведенных неравенств следует,

Как видно из изложенного, случайные погрешности и доверительные границы этих погрешностей можно оценить по данным, получаемым в результате повторных наблюдений при одном и том же измерении.

С систематическими погрешностями дело обстоит иначе. Смещенность результата измерения, которую характеризуют систематические погрешности, можно оценить либо с помощью более точных средств измерений, либо по косвенным данным, включая данные о метрологических свойствах используемых при измерении средств измерений.

Первый вариант — применение более точных средств измерений — используется, как правило, только в поверочной практике. В других случаях

использовать параллельно в одних и тех же условиях приборы разной точности нецелесообразно. Поэтому основным является второй вариант, когда систематическая погрешность оценивается по косвенным данным. Для этого выясняют все возможные источники погрешностей, оценивают по отдельности погрешности, вызванные каждым из них, т. е. оценивают все элементарные погрешности, и их суммируют. В зависимости от обстоятельств, перечисленные задачи решают по-разному. Рассмотрим сначала измерения с точным оцениванием погрешностей.