МУ Морозова Чирина 2014

дисперсии дает несмещенную оценку среднеквадратического отклонения:

Точечные статистические оценки могут сильно отличаться от оцениваемого параметра. В связи с этим в математической статистике рассматривают также интервальные статистические оценки. Интервальной называют ста-

тистическую оценку неизвестного параметра θ, которая определяется двумя числами θ1 и θ2 – концами доверительного интервала θ1;θ2 . При опреде-

лении интервальной статистической оценки необходимо задать надежность

ской статистике выведены формулы, позволяющие находить на основании выборки по заданной надежности γ доверительные интервалы Iγ(E) и Iγ(σ)

для основных параметров теоретического распределения – математического ожидания E и среднеквадратического отклонения σ.

Для выборок малого объема (n 1 30) эти формулы имеют вид

21

величины, распределенной по закону распределения Стьюдента с n 1 степенями свободы;

где χ12 и χ22 определяются по таблицам распределения хи-квадрат в случае r n 1 степеней свободы для вероятностей, соответственно равных

находят по таблице нормального распределения для заданного γ (таблицы распределения Стьюдента).

2.6. Определение закона распределения случайной величины по экспериментальным данным. Постановка задачи о критерии согласия

Пусть X – случайная величина, возможные значения которой образуют генеральную совокупность. В результате n независимых испытаний получена выборка x1, x2,..., xn объема n, элементы которой рассматриваются как зна-

чения независимых случайных величин X1, X2,..., Xn – результатов измере-

ний случайной величины X .

Требуется определить закон распределения случайной величины X. В математической статистике эту задачу принято решать в два этапа.

I этап. Подбор теоретического распределения, сглаживающего данное эмпирическое распределение. Часто эту задачу решают в два приема:

1) определение вида закона распределения (функция F(x) подбирается

по эмпирической функции распределения Fn*(x) или плотность вероятности f (x) подбирается по гистограмме выборки);

2) нахождение по выборке параметров теоретического закона распределения. При этом обычно используют так называемый метод моментов, со-

22

гласно которому параметры теоретического распределения выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших моментов теоретического распределения совпали с их точечными статистическими оценками, полученными из

II этап. Проверка гипотезы H0 о соответствии закона распределения,

подобранного на этапе I, данным выборки. Для этого используют критерии согласия.

Критерием согласия называют правило, позволяющее установить, являются ли расхождения между эмпирическим и предполагаемым теоретиче-

ским распределениями (т. е. между Fn*(x) и F(x)) случайными (незначимы-

ми) или существенными (значимыми).

Идея любого критерия согласия состоит в следующем: выбирается некото-

рая случайная величина U U X1, X2,..., Xn; F(x) , характеризующая сте-

пень расхождения между Fn*(x) и F(x). Случайная величина U выбирается та-

ким образом, чтобы при n был бы известен закон ее распределения, который не зависел бы от вида теоретического распределения F(x). Для данной выборки x1, x2,..., xn случайная величина U принимает определенное значе-

ние uв U x1, x2,..., xn; F(x) . Чем больше значение uв, тем хуже согласуется гипотеза H0 с экспериментальными данными. При использовании критерия со-

гласия задается уровень значимости критерия α 1 γ, где γ – доверительная вероятность, или надежность (α – вероятность того, что отвергается верная гипотеза H0). Из условия P(U uα) α можно найти uα – так называемое поро-

говое значение случайной величины U, соответствующее уровню значимости α.

Схема применения критерия согласия сводится к следующему.

1.По x1, x2,..., xn вычислим величину uв U x1, x2,..., xn; F(x) .

2.Зададим уровень значимости α.

3.По известному закону распределения случайной величины U по таблице найдем пороговое (критическое) значения uα, удовлетворяющее усло-

вию P(U uα) α.

4. Сравним uв и uα: если uв uα, то гипотезу H0 принимаем, если uв uα, то H0 отвергаем.

Замечания: 1. Для критерия согласия обычно берут α = 0.01, 0.05 или 0.1 (или в процентах: 1, 5, 10 %). Чем больше α, тем «жестче» критерий, так как большее число верных гипотез будет отвергнуто. 2. Критерий согласия предполагает выборку большого объема

23

(n 100). 3. С помощью критерия согласия гипотезу H0 доказать нельзя, можно лишь подтвердить, что она не противоречит экспериментальным данным или отвергнуть ее как маловероятное событие.

Критерий согласия Пирсона (критерий χ2). Служит для проверки ги-

потезы H0 о предполагаемом законе распределения любой случайной вели-

чины X (как дискретной, так и непрерывной). Пусть этот закон задан в виде функции распределения F(x). Для применения критерия Пирсона выборка

(объемом n 100) должна быть представлена в виде сгруппированного вариа-

ционного ряда.

Зная закон распределения случайной величины X, можно найти вероят-

ности попадания ее в интервалы xi, xi 1 :

pi P xi x xi 1 F xi 1 F xi , i 1, 2,...,l.

l

Для того чтобы pi 1, крайние интервалы делают полубесконечными:

i1

x1, x2 , x2 , xl, xl 1 xl, . Если проверяемая гипотеза H0 вер-

на, то частота mi представляет собой число независимых испытаний, в кото-

рых данное событие (попадание случайной величины X в i-й интервал) про-

изошло, если его вероятность в отдельном испытании из n равна pi. Следова-

тельно, можно рассматривать частоту mi как значение случайной величины

(меняющееся от выборки к выборке), распределенной по биномиальному зако-

ну с математическим ожиданием npi. Если число испытаний n велико, то на основании теоремы Муавра–Лапласа можно считать закон распределения частоты нормальным (на самом деле он является асимптотически нормальным).

В качестве меры расхождения данных выборки m1,m2,..., ml с теорети-

ческими данными np1, np2,..., npl в критерии согласия Пирсона взята сле-

дующая случайная величина:

(mi – случайные величины), которая для данной выборки примет определен-

ное значение:

24

Очевидно, что чем больше согласуются эмпирическое и теоретическое

распределения, тем меньше будут разности mi npi и меньше будет χ2в. Пир-

сон доказал, что при n и в случае асимптотически нормального распре-

деления частот mi закон распределения случайной величины U (см. (2.21))

не зависит от вида функции F(x) и приближается к закону «хи-квадрат» с r степенями свободы (если гипотеза H0 верна). Число степеней свободы этого закона определяется формулой

мых условий (связей), наложенных на частоты mi. Примерами таких связей

l

являются следующие: mi n (всегда имеет место), x E X , σ σ X i 1

(если эти параметры находятся из выборки x1, x2,..., xn ).

Так как при выводе критерия согласия Пирсона предполагалось, что частоты mi распределены асимптотически нормально, то все рассуждения будут справедливы, если значения mi достаточно велики. Поэтому на прак-

тике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5–10 наблюдений.

Если частоты отдельных интервалов малы (mi 5), то следует объединить соседние интервалы.

Схема применения критерия согласия Пирсона сводится к следующему.

1.По выборке по формуле (2.22) вычислим χ2в.

2.Зададим уровень значимости α.

3.По таблице распределения хи-квадрат χ2(r) для числа степеней сво-

боды r, найденного по формуле (2.23), и заданного уровня значимости α най-

дем пороговое (критическое) значение χ2(α, r), удовлетворяющее условию

P χ2(r) χ2(α, r) α.

4. Сравним χв2 и χ2(α, r). Если χв2 χ2(α,r), то гипотеза H0 принима-

ется, т. е. можно считать, что предполагаемая функция распределения F(x)

согласуется с экспериментальными данными; если χв2 χ2(α,r), то гипотеза

H0 отвергается как маловероятная.

25

2.7. Расчетное задание по математической статистике

По результатам n независимых равновозможных измерений некоторой физической величины, которые сведены в таблицу, представляющую собой:

а) вариационный ряд (для выборки малого объема, нечетные номера вариантов); б) сгруппированный вариационный ряд (для выборки большого объема,

четные номера вариантов) необходимо:

1) построить полигон относительных частот (для нечетных номеров вари-

антов); гистограмму относительных частот (для четных номеров вариантов);

2)построить эмпирическую функцию распределения Fn*(x);

3)вычислить выборочное среднее x, среднеквадратическое отклонение

смещенное σ*x и несмещенную оценку σ среднеквадратического отклонения теоретического распределения;

4) оценить с надежностью γ: а) истинное значение измеренной величины – построить доверительный интервал Iγ(E) для математического ожидания, б) точ-

ность измерений – построить доверительный интервал Iγ(σ) для среднеквад-

ратического отклонения; 5) проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нор-

мальном законе распределения этой физической величины с параметрами, найденными из выборки, взяв 5 %-й уровень значимости (α 0.05).

Порядок выполнения задания. Выборка малого объема. n 24, γ = 0.9;

вариационный ряд представлен табл. 2.2.

Таблица 2.2 Решение. Для выполнения пп. 1)–4) задания

26

1.Полигон относительных частот строим по данным 1-го и 3-го столбцов (имеет вид рис. 2.1).

2.Для построения графика эмпирической функции распределения Fn*(x)

найдем накопленные частоты Ni и накопленные относительные частоты Nin

(см. табл. 2.1). Затем по формулам (2.1) построим график Fn*(x) (см. рис. 2.2). 3. Для нахождения выборочного среднего x заполним 6-й, 7-й и 8-й столбцы табл. 2.3 и вместо исходного вариационного ряда обработаем более простой вариационный ряд (zi и mi). Пользуясь свойствами выбороч-

4. Для нахождения выборочного среднеквадратического отклонения σ*X ,

используя свойства выборочных моментов, проведем расчет выборочной дис-

По формуле (2.8) найдем выборочное среднеквадратическое отклонение:

σ*X D*X 12.8. Итак, σ*X 12.8.

5. Несмещенную оценку σ среднеквадратического отклонения теорети-

13.1. Итак, σ 13.1.

6.По заданной доверительной вероятности γ 0.9 и числу степеней

свободы n 1 23 по таблице распределения Стьюдента находим: tγ,n 1

1.714. Для случая малой выборки (n 1 30) по формуле (2.16) получим дове-

рительный интервал Iγ(E) для математического ожидания, дающий интерваль-

ную оценку истинного значения измеренной величины: Iγ(E) (567.1, 567.3).

7. Оценку точности измерений дает доверительный интервал Iγ(σ) для среднеквадратического отклонения (случая малой выборки n 1 30), опре-

деляется по формуле (2.17). Параметры χ12 и χ22 найдем по таблице распре-

деления хи-квадрат для числа степеней свободы r n 1 23 и вероятностей p1 и p2, вычисленных для заданной γ 0.9 по формуле (2.18): r 23,

27

1. Для построения гистограммы выборки ширину интервала выберем равной h xi 1 xi 10. Относительная частота pi* min, а плотность отно-

сительной частоты pi*hi. По данным табл. 2.4 и 4-го столбца табл. 2.5 стро-

им гистограмму выборки (имеет вид рис. 2.3).

2. Для построения графика эмпирической функции распределения Fn*(x)

заполним 5-й и 6-й столбцы табл. 2.5, найдя накопленные частоты Ni и на-

копленные относительные частоты Nin (см. табл. 2.1). Затем по формулам

(2.2) строим график Fn*(x) (имеет вид рис. 2.4).

3. Для нахождения выборочных моментов заменим исходный сгруппированный вариационный ряд вариационным рядом, в котором частота i-го интервала mi соответствует середине i-го интервала; значения xiср xi xi 1 2

занесем в 1-й столбец табл. 2.5.

Для упрощения расчетов заполним 7-й, 8-й и 9-й столбцы табл. 2.5, в результате чего вместо вариационного ряда (xiср и mi) обрабатываем более

простой вариационный ряд (zi и mi). Пользуясь свойствами для выборочного

28

Итак, x 160.3.

4. Для нахождения выборочного среднеквадратического отклонения σ*X

сначала найдем выборочную дисперсию D*X , заполнив 10-й столбец табл. 2.5

клонения теоретического распределения сначала найдем несмещенную оценку

Итак, σ 13.0.

6. Оценку истинного значения измеренной величины дает доверительный интервал Iγ(E) для математического ожидания, который для случая большой

выборки (n 1 30) определяется формулой (2.19). По заданной доверительной вероятности γ 0.98 по таблице нормального распределения (распреде-

ления Стьюдента) найдем tγ 2.33. В результате подстановки найденных па-

раметров в формулу (2.19) получим следующий доверительный интервал

Iγ(E), дающий интервальную оценку истинного значения измеренной величи-

ны: Iγ(E) (158.0, 162.6).

7. Оценку точности измерений дает доверительный интервал Iγ(σ) для

среднеквадратического отклонения, который определяется по формуле (2.20) для случая большой выборки (n 1 30). Для γ 0.98 tγ 2.33 (см. п. 6).

В результате подстановки найденных параметров в формулу (2.20) получим доверительный интервал Iγ(σ) (11.6, 15.0).

Проверка с помощью критерия согласия Пирсона гипотезы о нормальном законе распределения физической величины. Результаты 200 из-

мерений некоторой физической величины представлены сгруппированным

29

вариационным рядом (табл. 2.6). Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения этой физической величины (случайной величины X ) с параметрами, найденными из выборки, взяв 5 %-й уровень значимости (т. е. α 0.05).

вариационный ряд (см. табл. 2.6) заменим вариационным рядом (табл. 2.7).

2. Проверим с помощью критерия Пирсона гипотезу H0 о том, что X

распределена по закону N(221;12.6). Для этого представим исходную вы-

борку в виде табл. 2.7. Так как m1 3 5 и m8 2 5, объединим первый ин-

тервал со вторым и седьмой с восьмым интервалами из табл. 2.6, а крайние интервалы (верхний и нижний) расширим до бесконечности.

30