Добавил:

AddmIN Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Materialy_k_sdache_zacheta_2_semestr_ATP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.04.2019

Размер:

857.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 11 из 20

		n' '
0 N =N 0, { n' ,n' ' : n' ' n' N } :		∑ an
	n=n'

III.1.1. Признаки сходимости числовых рядов

1-ый признак сравнения сходимости знакоположительных числовых рядов: Пусть ряды А и В

– знакоположительные числовые ряды, причем, начиная с некоторого числа М > 0, выполняется соот ношение n M : an bn . Тогда: 1) если сходится ряд В, то сходится и ряд А; 2) если расхо

дится ряд А, то расходится и ряд В.

2-ой признак сравнения сходимости числовых рядов: Пусть ряды А и В – числовые ряды,

причем lim	an	=k 0 k ∞ (существует конечный предел отношения членов этих рядов).

n ∞	bn

Тогда ряды А и В сходятся и расходятся одновременно: 1) если сходится ряд В, то сходится и ряд А и наоборот; 2) если расходится ряд А, то расходится и ряд В и наоборот.

∞

Признак Даламбера сходимости рядов: Пусть для членов ряда A=∑ an

n =1

limn ∞ aan n1 =D (существует конечный предел отношения членов этих рядов). Тогда: 1) если

D < 1, то ряд А сходится; 2) если D > 1, то ряд А расходится; 3) если D = 1, то требуется более тонкий признак.

				∞
Признак Коши (радикальный) сходимости рядов: Пусть для членов ряда A=∑ an
lim n			=C	n =1
	a
		n		(существует конечный предел отношения членов этих рядов). Тогда: 1) если C < 1,
n ∞

то ряд А сходится; 2) если C > 1, то ряд А расходится; 3) если C = 1, то требуется более тонкий признак.

∞

Признак Коши (интегральный) знакоположительных числовых рядов: Пусть ряд A=∑ an

n =1

– знакоположительный числовой ряд, причем существует такая непрерывная монотонно убывающая функция f(x), такая, что начиная с некоторого числа М > 0, выполняется соотношение

				∞
n M : an= f n	. Пусть		I=∫ f x dx					Тогда ряд А и несобственный интеграл I сходятся
				M
и расходятся одновременно: 1) если сходится интеграл I, то сходится и ряд А и наоборот; 2) если рас
ходится ряд А, то расходится и интеграл I и наоборот.										∞
										∞
Для оценки сходимости рядов, часто используют несобственный интеграл										J =∫x0 dxx .
Вычисляя интеграл и пользуясь признаком Коши, получим:
					∞
Интеграл		J =∫x0 dxx					сходится при		1	(15)
			∞		1					(15)
Ряд	G =∑				1	сходится при			1
Ряд	G =∑					сходится при			1
			n=1		n
	∞						1	1 расходится. Этот ряд называется
В частности, ряд G 1 =∑ 1 =1 1 1						1	1	1 расходится. Этот ряд называется
n =1 n			2	3		4	5	n
гармоническим.										an≥0 , тогда
Признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда: Пусть										an≥0 , тогда
∞
ряд A=∑ −1 n an – знакочередующийся числовой ряд. Ряд А сходится, если выполняются усло
n =0					lim an=0
вия: 1) a0≥a1 ≥a2≥...≥an≥...			, 2)		lim an=0
					n ∞

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 12 из 20

∞

Знакопеременный ряд

B=∑ bn

(члены ряда могут быть как положительными, так и отри

n=1

∞

цательными) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд

∑ n

. Если ряд В сходится

∞

n=1

по признаку Лейбница, а ряд

∑ n

– расходится, то говорят, что ряд В сходится условно.

n=1

III.1.2. Примеры исследования сходимости числовых рядов

∞

3−n

∞

n20 4 n 100

∞

16n−1

∞

2 n−1 !

Рассмотрим ряды

A=∑

, B=∑

C=∑

, H =∑

n! 5

n! n 1 !

n=1

n =1

∞

n 1

∞

n2 −n 1

E=∑

F =∑

2 n 1

n=1

4 n

2 n 1

n=1

n 2 n

Для того, чтобы рассуждать о сходимости этих рядов, выпишем сравнение скоростей изменения (сил) различных классов функций. Пусть n - монотонно возрастающий целочисленный параметр, действительные параметры a, α больше единицы. Тогда:

ln ln n {ln n ,loga n, lg n } n {en ,an } {nn , n!} {nn , n! n }

(16)

По сравнению с быстро растущей функцией, медленно растущая может быть заменена единицей при исследовании сходимости ряда. С учетом этого замечания можно записать общие члены перечисленных выше рядов в виде

3−n

n20 4 n 100

n20

16n−1

an=

2n = 6

, bn=

≈

cn=

≈

n5 2n

n! 5n

en=

n 1

f n=

n2−n 1

≈

2 n 1

3 /2

2 n 1

4 n

n 2 n

8 n

Таким образом, перечисленные ряды сходятся: ряды A и B сходятся по признаку Даламбера как

геометрические прогрессии с показателями

D=1

соответственно. Ряд C сходится

быстрее любой геометрической прогрессии (

D=0

). Ряд Е сходится по второму признаку

∞

сравнения со сходящимся рядом (15)

G 2 =∑

. По тому же признаку сходится ряд F,

n=1

поскольку степень знаменателя больше единицы. Заметим, что ряды E и F не содержат «сильных» показательных функций. Число Даламбера D для них равно 1. Поэтому при исследовании сходимости этих рядов пришлось опираться на «более тонкий» признак сравнения. В отличие от перечисленных,

для ряда H число Даламбера не очевидно. Поэтому вычислим его по определению:

D=lim

hn 1

=lim

2 n 1 −1 !

2 n−1 !

=lim

2 n 1 !

n! n 1 !

n 1 ! n 2 ! 2 n−1 !

n ∞

hn n ∞ n 1 ! n 1 1

n ∞

lim

2 n 1 !

=lim

2 n 1 2n

n 2 n 1

n ∞ 2 n−1 ! n 2 !

n ∞

Поскольку число больше единицы, по признаку Даламбера ряд Н расходится.

III.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

h	n	=	2 n−1 !	,
	n		n! n 1 !
=

Определение функционального ряда: Функциональным рядом называется выражение вида

∞
∑ un x , где	{u1 x ,u2 x ,... ,un x ,...} – последовательность функций – членов ряда.
n=1

Sn x =u1 x u2 x ... un x – n-ная частичная сумма ряда.

Будем считать, что члены функциональных рядов – непрерывные функции всюду в области

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр	стр. 13 из 20
определения.	∞
	∞
Определение поточечной сходимости функционального ряда: Ряд	U x =∑un x назы
	n=1

вается сходящимся в точке x, если в этой точке существует конечный предел его частичных сумм:

lim S n x =A 0≤A ∞ . Число А называется суммой ряда U(x) в точке x.

n ∞

∞

Определение равномерной сходимости функционального ряда: Ряд U x =∑un x назы

n=1

вается сходящимся равномерно к функции f (x) на отрезке [a; b], если

0, x [a;b ] N =N 0, {n : n N } : ∑k∞=n un x − f x . Функция f (x) называется суммой ряда U(x) на отрезке [a; b].

Если члены ряда U(x) на отрезке [a; b] являются непрерывными функциями x, то сумма равномерно сходящегося ряда также является непрерывной функцией на отрезке. Равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно. Равномерная сходимость ряда является необходимым условием дифференцируемости ряда на отрезке.

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда (необходимый и достаточ

	∞
ный признак равномерной сходимости ряда): Ряд U x =∑un x является равномерно сходя
щимся на отрезке [a; b], если	n=1
щимся на отрезке [a; b], если	n' '	un x .
	n' '
0, x [a;b ] N =N 0, { n ' ,n' ' :n' ' n' N } : k∑=n'
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (достаточный при
	∞
знак равномерной сходимости ряда): Ряд	U x =∑un x является равномерно сходящимся на
	n=1
отрезке [a; b], если существует такой (мажорирующий) знакоположительный числовой ряд
∞
A=∑ an , что ряд А сходится и на отрезке [a; b] выполняется соотношение un x ≤an .
n =1
∞
Ряд вида U x =∑ cn x− x0 n	называется степенным рядом. Значение x=x0 называ
n=0

ется центром сходимости степенного ряда, область сходимости степенного ряда имеет вид

x0−R ; x0 R . Число R – радиус сходимости степенного ряда – может быть вычислено по фор

R=lim n

мулам

R=lim

или

c−1

cn 1

n ∞

n .

n ∞

III.3. Р Ф

[− ; ]

ЯД

УРЬЕ НА ОТРЕЗКЕ

∞

Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид f x = ∑ cn ei n x

, коэффициенты вычисляют

n=−∞

ся по формуле

cn=

∫ f x ei n x dx

2 −

∞

Ряд Фурье в действительной форме имеет вид f x =

∑ an cos n x bn sin n x , коэф

n=1

фициенты вычисляются по формулам

an=

∫ f x cosn x dx

bn=

∫ f x sin n x dx ,

2 −

a0=

∫ f x dx .

−

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 14 из 20

Рисунок 5. Теорема Дирихле для непрерывной функции

В соответствии с теоремой Дирихле, ряд Фурье непрерывной функции сходится к этой функции

x − ; . На границах интервала значения суммы ряда

f x

определяются соотноше

f f

−

нием

f − = f =

. Вид суммы ряда представлен на рисунке

III.4. ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА.

∞

5 x−3 n

Дан ряд

U x

=∑

. Найти область сходимости этого ряда.

n 1

n=1

5 x−3=0

Решение. Центр сходимости ряда определяется условием

. Следовательно

un 1 x

x0=5

=0.6 . Область сходимости определим по признаку Даламбера

D x =nlim∞

1 .

un x

5 x−3 n 1

5 x−3 n

5 x−3 n 1

n2 n 1

D x =nlim∞

=nlim∞

5 x−3 n

7n 1

n 1 2 n 1 1

n2 n 1

n 1 2 n 1 1

5 x−3

. Из условия

D x =

lim

n2 n 1

D x 1

имеем цепочку неравенств:

n ∞

n2 3n 3

{5 x7−3

1} { 5 x−3 7} {−7 5 x−3 7 } {−4 5 x 10} {−0.8 x 2} .

Последнее двойное неравенство определяет область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости

равен половине длины интервала

R=2− −0.8 =2−0.6=0.6− −0.8 =1.4

. Однако на границах

интервала признак Даламбера неприменим ( D −0.8 =D 2 =1

), поэтому рассмотрим сходи

мость в этих точках отдельно.

5 2−3 n

∞

Пусть

x=2

. Тогда

U 2 =∑

=∑

. Сравнивая по

n=1

n n 1

n=1 7

n n 1

n=1

n n 1

∞

2 признаку сравнения полученный ряд с расходящимся гармоническим рядом

A=∑

, видим,

n =1

что ряд U(2) расходится.

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр стр. 15 из 20

∞

5 −0.8 −3 n

∞

−7 n

∞

−1 n

Пусть x=−0.8 . Тогда U −0.8

=∑

. Как

n 1

n=1

n =1

установлено ранее, этот ряд по абсолютной величине расходится. Однако, U(–0.8) удовлетворяет при знаку Лейбница. Следовательно ряд U(–0.8) сходится условно.

Окончательно, область сходимости степенного ряда [−0.8 ; 2

IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n (ДУn) называется уравнение вида:

f x , y , y ' , y' ' , , y n =0 , где y = y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная, n - порядок уравнения (порядок старшей производной, входящей в уравнение) . Уравнение может быть записано в виде, разрешенном относительно старшей производной: y n =g x , y , y' , , y n−1 .

Решением уравнения называется такая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение ДУn y= x ,C1, C2, ,Cn содержит ровно n произвольных посто янных {C 1,C 2, ,Cn } . Частное решение не содержит произвольных постоянных.

IV.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДУ1

Таблица 4: Уравнения первого порядка. Основные (опознают по виду функции в правой части)

Назва

Вид

Подстановка

Результат

Примечания

ние

разделяющимися

y' = f x g y

нет

Правая часть уравне

переменными

∫

=∫

ния факторизуется:

g y

f x

представима в виде

произведения функ

ций, каждая из кото

рых зависит только от

одной переменной

ОднородноеС

y' = f

y=u x x

x=C exp

Решение, в общем

случае, может быть за

∫ f u −u

писано в параметриче

нелинейное

{y=C u exp ∫

ском виде

f u −u

(неоднородное)

y' = f x y g x

y=u x v x

u' = f x u ,

Поскольку исходное

Линейное

(Бернулли)

{v' u=g x .

уравнение содержит 1

неизвестную функ

цию, а подстановка —

2 (u и v), постольку на

одну из новых функ

ций (u) уравнение за

писывается произ

вольно.

y' = f x y g x y

y=u x v x

u' = f x u ,

См. предыдущее

Бернулли,

нелинейное

(Бернулли)

{v ' u=g x u

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 16 из 20

Таблица 5: Уравнения первого порядка (необязательный список)

Назва

ние

Однородное,	общий случай
В полных	дифференциалах
Клеро

Вид

Подстановка

Результат

y' = f

a1 x b1 y c1

F u

a2 x b2 y c2

A x B

x c

F u = b2 u−b1

x c

−u a

b2 u−b1 f u a2 u−a1 ,

u b2−b1

A= a2 b1 −a1 b2 ,B=b1 c2−b2 c1

P x , y dy +

Условие

∂Q x , y

∫y

P x , y1 dy1

Q x , y dx=0

∂ P x , y

∂ x

∂ y

∫x Q x1, y0 dx1=C

y=x y' f y'

y' =p x

общее решение

y=x C f C

частное решение (огибающая)

f ' p x x=0

Таблица 6: ДУ2, сводимые к ДУ1

Вид	Подстановка		Результат

y'' = f x	нет		x		x1
			y=∫dx1∫dx2 f x2 C1 C2 x
			x0		x0
y'' = f x , y'	y' =p x		{y'p'==pf . x , p ,
			{y'p'==pf . x , p ,
y'' = f y , y '	dy		dp
	dx =p y ,		p dy	= f y , p ,
	d 2 y	dp	{x=∫		dy
	dx2	= dy p y			dy	.
	dx2	= dy p y			p y	.

IV.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ2

Линейным неоднородным ДУ2 называется уравнение вида a y'' b y' c y = f x (17)

Соответствующее однородное уравнение

a y'' b y' c y =0	(18)
Решение уравнения (15) имеет вид
yо.о.=C1 y1 x C2 y2 x	(19)

где C1, C2 - произвольные постоянные, а {y1 x , y2 x } - линейно независимые частные реше

ния уравнения.

Линейная независимость функций означает, что никакая их линейная комбинация

a1 y1 a2 y2 , исключая тривиальную a1=a2=0 , не обращается тождественно в ноль Определитель Вронского W {y1, y2}= yy11' yy22' для линейно независимых решений урав

нения (15) не равен нулю. Набор частных решений, для которых W ≠0 , называется фундамен тальной системой функций (фу.си.фу.).

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 17 из 20

Теорема о структуре решения линейного неоднородного ДУ2: yо.н.=yо.о. yч.н. - общее ре

шение неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.


IV.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ2 С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Решение линейных ДУ2 с постоянными коэффициентами и специальной правой частью:
a y'' b y' c y = f x , где						f x		представима в виде линейной комбинации произведений
полинома, показательной и тригонометрической функций.
I. Решение однородного уравнения .							a y'' b y' c y =0
Пусть	k 1 , k 2 — решения характеристического уравнения a k2 b k c=0 :
	1	−b±
k 1,2=				b2−4 ac			. Тогда,

	2 a
1) если	k1 , k 2		- действительны и различны, то yo.o.=C1 exp k1 x C2 exp k2 x
2) если	k1=k2		, то			yo.o.=C1 exp k1 x C 2 x exp k 1 x
3) если	k1 , 2= ±i				, то		yo.o.=exp x C 1 cos x C 2 sin x
Для уравнений большего порядка принцип сохраняется: каждому действительному значению
k отвечает слагаемое					C exp k x			, если есть, например, 4 совпадающих корня
k 1=k 2=k3=k4				, то		yo.o.= C1 C 2 x C3 x2 C4 x3 exp k1 x . Комплексные корни дей
ствительного полинома встречаются только попарно.

II. Решение неоднородного уравнения

a y'' b y' c y= f

x осуществляется по принципу «уга

дай решение». Общее решение имеет вид

yо.н.= yo.o. yч.н.

. Решение

yч.н.

угадывается по виду

функции f x . Затем

yч.н.

подставляют в уравнение и находят коэффициенты.

Таблица 7: Примеры выбора вида частных решений

f x

yч.н. (коэффициенты - неизвестны)

Pn x =a0 a1 x an xn

Qn x =A0 A1 x An xn

Pn x exp x

Qn x exp x

Pn x sin x

Qn x sin x Rn x cos x

x−x2 exp 3 x

A1 x A0 B0 B1 x B2 x2 exp 3 x

x sin 2 x

A1 x A0 sin 2 x B1 x B0 cos 2 x

cos x 3 xsin x

A1 x A0 sin x B1 x B0 cos x

III.

Если yч.н.

содержит блок решений, хотя бы частично перекрывающийся c

yо.о.

, то весь

блок

умножают

на

xm .

Степень подбирают так, чтобы блоки не пересекались.

Например,

y''' =x имеет

о.о.

x C

x2 , по таблице

y =A

A x . Бло

ч.н.

ки пересеклись. Умножаем на степень x, чтобы пересечения не было

ч.н.

= A

x x3

(имеет

место трехкратное совпадение корней). После подстановки в исходное дифференциальное уравнение

(ДУ3), получим

6 A

24 A

x=x

. Следовательно,

=0, A

. Решения: частное решение

неоднородного

уравнения

y =

общее

решение

неоднородного

уравнения

ч.н.

о.н.

x4 С

x C

x2 .

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр	стр. 18 из 20
IV.4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

IV.4.1. Однородные уравнения

1. Уравнение 3 y'' −y' −4y=0 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (ДУ2) с постоянными коэффициентами. Поэтому его можно решать по приведенной выше схеме. Запишем характеристическое уравнение: 3 k2−k−4=0 . Решения этого уравне

ния есть корни квадратного уравнения: k =− −1 ±	−1 2−4 3 −4	=1±7 = 4 /3 .
1,2	2 3	6 {−1 }
	2 3	6 {−1 }

Оба корня действительные и различны. Поэтому решение уравнения запишется в виде:

x C2 e−x

. Проверим, что при подстановке в исходное дифференциальное урав

y x =C1 e

нение получится тождество: 3 y'' −y' −4 y

= 3 C1

x C 2 −1 2 e−x − C1

x C2 −1 e−x −4

C 1 e

x C2 e−x =

= C1 e3 x 3 169 −34 −4 C 2 e−x 3 −1 2 − −1 −4 =0 .

2. Уравнение

25 y'' 10 y ' y=0

- линейное однородное ДУ2 с постоянными коэффициентами.

Поэтому его можно решать по стандартной схеме. Запишем характеристическое уравнение:

25 k2 10k 1=0 . Решения этого уравнения есть корни квадратного уравнения:

k1,2=

−10±

102−4 25 1

−10±0

=−

. Корни характеристического уравнения совпали.

2 25

Поэтому решение уравнения запишется в виде:

y x =C1 e−

x C 2 e−

x x=e−

C 1 C2 x .

При подстановке в исходное дифференциальное уравнение получим:

25 y'' 10 y' y =

−

C1 C 2 x

C 2

−5

C1 C2 x =0 .

25e

C1 C2 x −2

C2 10e

3. Уравнение

y'' −8 y' 41 y=0 - линейное однородное ДУ2 с постоянными коэффициентами.

Поэтому его можно решать по стандартной схеме. Запишем характеристическое уравнение:

k2 −8 k 41=0

. Решения этого уравнения есть корни квадратного уравнения:

k1,2=− −8 ±

−8 2−4 1 41

=8±

8±10 i =4±5 i . Корни характеристического

−100

2 1

=4, =5

уравнения комплексные.

. Поэтому решение уравнения запишется в виде:

y x =e4 x C1 cos 5 x C2 sin 5 x

. При подстановке в исходное дифференциальное урав

нение получим:

y'' −8 y' 41 y

= e4 x 42 C1 cos5 x C2 sin 5 x 2 4 −5 C1 sin 5 x 5C2 cos5 x −52 C1 cos5 x−52 C2 sin 5 x -

−8e4 x 4 C1 cos 5 x C2 sin 5 x −5C 1 sin 5 x 5 C2 cos 5 x

41e4 x C1 cos 5 x C2 sin 5 x =0 .

Приведем еще несколько примеров.

Таблица 8: Примеры решений линейных однородных ДУ

№

Уравнение

Характеристическое

Корни

Решение

уравнение

9 y'' −4y=0

9 k

−

4=0

k 1,2=±

3 x

−3 x

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 19 из 20

16 y'' y=0

16 k2 1=0

k1,2=0±

C1 cos

2 sin

y''' 7 y '' =0

k 3 7 k 2=0

k 1=k 2=0,

C1 C2 x C 3 e−7 x

k 3=−7

4 y ''''−35 y ''−9 y=0

4 k4−35 k2 −9=0

k 1,2=0±

C1 cos

2sin

k 3,4=±3

+ C 3 e3 x C 4 e−3 x

IV.4.2. Неоднородные уравнения со специальной правой частью

8. Уравнение

3 y'' −y' −4 y=7e−5 x - линейное неоднородное дифференциальное уравнение

второго порядка (ДУ2) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Решение

x C2 e−x

соответствующего однородного уравнения найдено ранее: yо.о.=C1 e

. Правая часть

уравнения есть произведение полинома нулевого порядка (числа) на показательную функцию.

Поэтому частное решение ищем в виде y

=Ae−5 x

. Подставив решение в левую часть ис

ч.н.

ходного уравнения, получим

3 y'' −y' −4 y =

3 A −5 2 e−5 x−A −5 e−5x−4 A e−5 x=76 Ae−5 x

. Приравняв к правой части , найдем урав

нение на переменную А: 76 A e−5 x=7e−5 x

; А=

. Частное решение

yч.н.=

e−5 x . Об

−5 x

−x

щее решение неоднородного уравнения

yо.н.=yч.н. yо.о.=76 e

C1 e

C 2 e

9 y'' 4 y=1−x2

9. Уравнение

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго

порядка (ДУ2) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Находим решение

соответствующего однородного уравнения:

yо.о.=С1 cos 32 x С2 sin 32 x . Правая часть

уравнения есть полином второго порядка. Поэтому частное решение ищем в виде

yч.н.=A0 A1 x A2 x2

. Подставив решение в левую часть исходного уравнения, получим

9 y'' 4 y=9 2 A2 4 A0 A1 x A2 x2 =1−x2 . Найдем неизвестные коэффициенты

А0 , A1

А2 : 18 A2 4 A0 4 A1 x 4 A2 x2=1−x2 ; А0 =11

; A1=0 ; A2=−

1 .

=11 −

1 x2

Частное решение

. Общее решение неоднородного уравнения

ч.н.

=11

−

x2 C

cos 2 x C

sin

x .

о.н.

ч.н.

о.о.

10. Уравнение

y'' −5 y' =37 37 x−2 sin 7 x

. Находим решение соответствующего однородного

уравнения:

yо.о.=С1 С2 e5 x

. Правая часть уравнения есть произведение полинома первого

порядка на тригонометрическую функцию. Поэтому частное решение ищем в виде

yч.н.= A0 A1 x sin 7 x B0 B1 x cos 7 x

, где коэффициенты

A0 , A1 , B0 ,B1 неиз

вестны. Подставив решение в левую часть исходного уравнения, получим

y'' −5 y

−49 A0 A1 x sin 7 x B0 B1 x cos7 x 14 A1 cos7 x−14 B1 sin 7 x

–

5 7 A0 A1 x cos7 x− B0 B1 x sin 7 x A1 sin 7 x B1 cos 7 x =37 37 x−2 sin 7 x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получим уравнения на неизвестные ко эффициенты:

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 20 из 20

sin 7 x

−49 A0−14 B1 35 B0−5 A1=−74 ;

cos7 x

−49 B0 14 A1−35 A0 5 B1=0 ;

x sin 7 x

−49 A1 35 B1=372 ;

x cos7 x

{−49 B1−35 A1=0.

А0 =−166

, A1=−

37 ,

B0 =−59

B1=185 .

Решая полученную систему, получим

Частное решение уравнения

yч.н.=− 372 x 16649

sin 7 x

185 x−59 cos7 x .

Общее решение неоднородного уравнения

yо.н.=yч.н. yо.о.=− 372 x 16649 sin 7 x

185 x−59 cos7 x C1 C2 e5 x

11. Уравнение

y'' 4 y' 4 y=x e−2 x

. Находим решение соответствующего однородного урав

нения: yо.о.= С1 С 2 x e−2 x

. Правая часть уравнения есть произведение полинома первого

порядка на показательную функцию. Поэтому частное решение ищем в виде

yч.н.= A0 A1 x e−2 x . Нетрудно заметить совпадение

yо.о.

yч.н. : в них входят одина

ковые функции

{e−2 x , x e−2 x } . Имеем двукратное совпадение. Умножаем

yч.н.

на x2:

yч.н.= x2 A0 A1 x e−2 x= A0 x2 A1 x3 e−2 x . В

yч.н.

теперь входят функции

{x2 e−2 x , x3 e−2 x } . Подставив решение в левую часть исходного уравнения, получим

y'' 4 y' 4 y=2 A0 e−2 x 6 A1 xe−2 x=x e−2 x . Приравнивая коэффициенты при одинаковых

функциях, получим: А

=0 ,

. Частное решение

1 x3 e−2 x .

ч.н.

Общее решение неоднородного уравнения

=y y

=1 x3 e−2 x C

x e−2 x

о.н.

ч.н.

о.о.

12. Уравнение

y'' 8 y' 97 y=e−4 x 2sin 9 x −3cos 9 x

. Решение однородного уравнения

yо.о.= С1 sin 9 x С2 cos9 x e−4 x

. Частное решение ищем в виде

yч.н.= x A1sin 9 x B1 cos9 x e−4 x

(есть совпадение функций). Общее решение имеет вид

yо.н.=yч.н. yо.о.=x −61 sin 9 x−91 cos9 x e−4 x C1 sin 9 x C 2 cos 9 x e−4 x

IV.5. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Задача Коши состоит в то, чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным (граничным) условиям.

		y'' −4 y=16 x;
Например, найдем решение задачи Коши	{y 0 =2, y ' 0 =0 .
Общее решение линейного ДУ2 имеет вид y x =−4 x C1 e2 x C2 e−2 x			. Подставим полученное
решение в начальные условия:
y 0 =−4 0 C1 e2 0 C2 e−2 0=2;		C1 C2 =2;	C1=2;
{y' 0 =−4 2 C1 e2 0−2C2 e−2 0=0 .		{2 C1−2C 2=4.	{C2=0 .
Искомое частное решение (решение задачи Коши):		y x =−4 x 2e2 x .

<<< < Предыдущая 12 / 22