56. Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением двух векторов  и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

• он является нулевым, если векторы  и  коллинеарны;

• он перпендикулярен и вектору  и вектору  ();

• его длина равна произведению длин векторов  и  на синус угла между ними ();

• тройка векторов  ориентирована так же, как и заданная система координат.

свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность ;

2. свойство дистрибутивности  или ;

3. сочетательное свойство  или , где - произвольное действительное число.

57. Смешанной произведение векторов и его свойство.

Смешанным произведением трех векторов  и  называется действительное число, равное скалярному произведению векторов  и , где  - векторное произведение векторов  и .

свойства смешанного произведения:

1. ;

2. ;

3. 

58. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости в пространстве

– общее уравнение плоскости в пространстве

Нормальный вектор плоскости

Нормальным вектором плоскости назовем ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору, лежащему в плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точкус заданным вектором нормали

– уравнение плоскости, проходящей через точку M0 с заданным вектором нормали

Направляющие векторы плоскости

Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, назовем направляющими векторами плоскости

Параметрические уравнения плоскости

– параметрическое уравнение плоскости в векторном виде

– параметрическое уравнение плоскости в координатах

Уравнение плоскости через заданную точку и два направляющих вектора

–фиксированная точка

–просто точка лол

–компланарные, значит их смешанное произведение равно 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

– уравнение плоскости через три точки

Уравнение плоскости в отрезках

– уравнение плоскости в отрезках

59. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.

Даны две плоскости, заданные общими уравнениями:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Они имеют нормальные векторы:

₁(A₁, B₁, C₁),

₂(A₂, B₂, C₂).

1. Если плоскости параллельны, то векторы нормалей коллинеарны.

 - условие параллельности плоскостей.

2. Если плоскости перпендикулярны, то векторы нормалей ортогональны.

_1 2 = 0,

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 - условие перпендикулярности плоскостей.

60. Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Пусть прямая проходит через точку M1 (x1, y1, z1) и параллельна вектору (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор 

Векторы иколлинеарны.

- каноническое уравнение прямой в пространстве.

44 Параметрические уравнения прямой

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к.- ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.