Добавил:

Noriil Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Политехнический институт СФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1fedorenko_a_a_ivanchura_v_i_praktikum_po_teorii_avtomatiches

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2019

Размер:

785 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

∞	C		i	di q(t)
eуст = ∑			i		,
eуст = ∑	i!			dti	,
i=0	i!			dti
где
Ci =		∂i Фε(Ρ)				при р = 0.
		∂i Фε(Ρ)
				∂pi
				∂pi

Поскольку по заданию входные воздействия единичные, производные от них равны нулю. Следовательно, установившиеся ошибки в системе будут определятся только коэффициентами С для которых i = 0.

Установившаяся ошибка от управляющего воздействия

Сω 0 = Фε(0) = 0.

Установившаяся ошибка от возмущающего воздействия

СΜС 0 = Фfε(0) = K ΡC1× CΜ .

Пример 4. Исследовать систему на устойчивость методом Михайлова при следующих значениях параметров Тμ = 0.04 с, КРС = 10, Се = СМ = 1, RЯ =

0,2, J = 0.5, KУМ = 20.

Решение. Основой для анализа устойчивости этим методом служит характеристический полином замкнутой системы:

Д(Ρ) = P[(Tµp + 1)(TЯp + 1)JR Я + CeCΜTµ ]+ K ΡСCΜR Я (TЯp + 1) = 0

После преобразования и подстановки значений параметров имеем:

Д(Ρ) = JR ЯTµTЯp3 + JR Я (Tµ + TЯ )p2 + (JR Я + CеCΜTµ + K ΡСCΜR ЯTЯ )р +

+ K ΡСCΜR Я = 0.00004р3 + 0.005р2 + 0.19р + 2 =

= 0.00002р3 + 0.0025р2 + 0.095р + 1 = 0.

Заменим в характеристическом уравнении р на jω и выделим в полученной комплексной функции вещественную и мнимую части.

Д( jω) = X(ω) + jУ(ω) = (1 − 0.0025ω2 )+ jω(0.095 − 0.00002ω2 )= 0

						72
	Задаваясь значениями ω от нуля до +∞ вычисляем Х и Y											(см. табл. 4.1) и
строим годограф Михайлова (рис. 4.7).
								ω=31.6				Y
								ω=31.6
										1.74		ω=20
												ω=10
	ω =68.9											ω=0

		-10.9										1		Х

			ω→∞
			Υ→ - ∞			Рис.4.7
						Рис.4.7
													Табл. 4.1.
													Табл. 4.1.

ω			0	10	20		31.6		68.9		100			∞

Х			1	0.75	0		-1.5		-10.09		-24			- ∞

Y			0	0.93	1.74		2.37		0		-10.5			- ∞

Как видно из таблицы и графика годограф начинается на вещественной оси и последовательно проходит против часовой стрелки три квадранта. Порядок характеристического уравнения – три. Все условия критерия Михайлова выполняются, следовательно, система устойчива.

Пример 5. Составить уравнение состояния по структурной схеме системы автоматического управления.

Решение. Число переменных состояния должно быть равно порядку характеристического полинома системы. В данном случае n = 3. Уравнения состояния очень просто записать по детализированной структурной схеме, приняв в качестве переменных состояния реальные физические переменные на выходах интеграторов. Введем обозначения:

ω = Х1, i = Х2, Uу1 = Х3.

Тогда для каждого интегратора можно записать дифференциальное уравнение первого порядка:

CΜ

−

MC ,

= −

−

K УМ

(X3 + U У2 ),

R ЯTЯ

TЯ

R яTя

R Я

−

K УМTµ

X2 .

K УМTµ

Переменные i и UУ2

по структурной схеме легко выразить через Х1, Х2,

Х3 и входное воздействие ω :

i = K PC (ω - X1 )

U У2

R ЯTЯ

(i − X2 )=

K ΡC R ЯTЯ

(ω − X1 )−

R ЯTЯ

Х2 .

УМ

Подставив выражения для i и UУ2 в дифференциальные уравнения и приведя подобные получим:

CΜ

X1 =

0X1 +

+ 0X3 + 0 × ω

MC,

K ΡC

КУМ

K РС

= -

+ 0 × М

T T

С,

Я Я

R ЯK ΡC

R Я

K PC R Я

X3 = -

K УМTµ

Х1 -

K УМTµ

Х2 + 0

× Х3

K УМTµ

+ 0

× МС.

В эту систему уравнений введены нулевые элементы для удобства записи матриц А и В. В векторно – матричной форме она имеет вид:

&	(4.2)
X = AX + BU,

где

			0
			0

		Ce			K ΡC
A = -				+
A = -				+
					Tµ
	R ЯTЯ				Tµ

		-	R ЯK PC

			K УМTµ
			K УМTµ

CΜ

	1		1
-		+
			T
T
	Я		µ

-R Я

КУМТµ

				-	1
0		0
0		0			J
					J
КУМ			K ΡC
КУМ			K ΡC
	; B =			0
			Tµ
R ЯTЯ						;
R ЯTЯ						;


0		K РСR Я
		K РСR Я		0
		КУМТµ		0
		КУМТµ

X1						ω
X = X	2	; U =				.
	2

X3					MC
Так как выходная переменная системы одна Х1 = ω , то уравнение
наблюдения будет иметь вид:
y = [1 0 0]×		X1
y = [1 0 0]×		X	2	,
			2

		X3

т. е. матрица С = [1 0 0].

Пример 6. Составить уравнения состояния по передаточной функции от управляющего воздействия замкнутой САУ.

Решения. Передаточная функция замкнутой системы по управлению (4.1) после раскрытия скобок и приведения подобных приобретает вид:

Ф(Р) =

ТЯр + 1

J(Tµ + TЯ )

CeTµ

JТµТЯ

+ TЯ p + 1

КРС × СМ

× CM

K РC

K PC R Я

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение в операторной форме

JТ

J(T + T )

C T

µ Я

e µ

+ TЯ p + 1 ω(Р) = (ТЯр + 1)ω(Ρ)

КРС × СМ

× CM

K PC R Я

K РC

С помощью вспомогательной переменной Х1(р) запишем это уравнение в виде двух уравнений

JТ

J(T + T )

C T

µ Я

e µ

+ TЯ p + 1 Х1 (р) = ω(Ρ) , (4.3)

КРС × СМ

K PC R Я

K РС × CM

(ТЯр + 1)Х1(р) = ω(р).	(4.4)
Выражения (4.3), (4.4) можно привести к системе уравнений первого

порядка, принимая в качестве переменных состояния переменную Х1 и ее производные:

РХ1

= Х2

РХ2

= Х3

K PCCΜ

CeCΜ

K PCCΜ

(Tµ + TЯ )

K PCCΜ

= -

JT T

T T

JT T

T T

µ Я

Я Я

µ Я

после чего, обозначив ω = Υ можно записать уравнение наблюдения:

ω= ТЯ × Х2 + Х1.

Ввекторно – матричной форме уравнение состояния и наблюдения имеет

вид:


&			0
Х			0
& 1			0
Х2	=		0
&		K	PC	C	Μ
Х3	-		PC		Μ
Х3	-	JTµTЯ
		JTµTЯ

(Тµ + Т

Я )

Т Т

µ Я

Я µ

µ Я

Х1

´ Х2

K PCCΜ

Х3

JT T

U = [1, Т		, 0]	Х1
U = [1, Т	Я	, 0]	Х		2	.
	Я				2
				Х3
				Х3

Пример 7. Исследовать устойчивость системы по уравнениям состояния при значениях параметров из примера 4.

Решение. Используем уравнения состояния, полученные в примере 6. Устойчивость системы определяется матрицей параметров А. При этом можно использовать следующий путь:

1) по матрице А вычисляют характеристический полином системы

D(P ) = dеt(pE − A), где Е – единичная матрица;

2)далее используют какой – то из алгебраических критериев, либо критерий Михайлова.

В данном случае матрица рЕ - А имеет вид:

(Тµ + Т

Я )

JT T

µ Я

Я µ

Найдем характеристический полином, раскрывая определитель,

например, по элементам первой строки:

CeCΜ

K PCCΜ

(Тµ + ТЯ )

D(P ) = p -

р +

T T

µ Я

Я Я

+ 1

K PCCΜ

(Тµ

+ Т

Я )

+ 0 K PCCΜ

CeCΜ

р +

JT Т

Т Т

JR T

T T

µ Я

Я Я

+ K PCCΜ =

	Тµ + ТЯ					1
= р3 +					р2 +		+
	Т		Т
		µ		Я	T T
						µ Я

Введем обозначения:

Тµ + ТЯ

=1,

, а

T T

µ Я

CeCΜ + JR ЯTЯ

+ CeCΜ JR ЯTЯ

K	PC	C	Μ		K	PC	C	Μ
	PC		Μ	× р +		PC		Μ	.
				× р +					.
	JTµ				JTµТЯ
	JTµ				JTµТЯ

					КРССΜ
+	K PCCΜ			=
		, а	3			.
	JTµ				JТµТЯ

Анализ устойчивости выполним с помощью критерия Гурвица составив таблицу

а1	а3	0
	а2
а0	а2	0	.
	а1	а3
0	а1	а3
Согласно этого критерия для устойчивости системы необходимо и
достаточно что бы выполнялись условия			а0 f 0, (а1а2 − а0а3 ) f 0. В данном
случае а0 = 1.

Подставив значения параметров системы в выражения для а после расчетов получим (а1а2 − а0а3 ) = 543750 . То есть условия выполняются.

Система устойчива.

Пример 8. Синтезировать модальный регулятор для рассматриваемой системы. Синтез произвести для управляющего воздействия, т. е. считаем

МС = 0.

Решение. Синтез целесообразно осуществить по уравнениям (4.2) полученным на основе структурной схемы САУ, так как здесь переменные состояния соответствуют реальным физическим переменным системы. В качестве желаемого примем характеристический полином ( ), при ω0 = 50с-1.

Параметры системы взять из примера 4.

Входная матрица системы с учетом изложенного имеет вид:

КРС

в21

В =

Тµ

КРСR Я

в31

УМ

Собственная матрица параметров системы равна

CΜ

a12

Сe

КРС

КУМ

= a 21

А = −

−

a 22

a 23

Я Я

a 32

−

R ЯK PC

−

R Я

a 31

K УМTµ

КУМ

Тµ

Матрица искомых коэффициентов обратных связей по переменным состояния имеет вид:

К = [К1 К2 К3 ].

Вычислим произведение матриц В и К:

	0							0				0				0
В× К = в		21	[К	К	К	3	] = в	21	К	1	в	21	К	2	в	21	К	.
		21	1	2		3		21		1		21		2		21		3
											в31К2				в31К
в31							в31К1				в31К2				в31К			3

Найдем матрицу А1:

			0	а		0
А1	= А - В× К =		(а21 - в21К1 ) (а22 - в21К2 ) (а			23 - в21К		3 )	.
			(а31 - в31К1 ) (а32 - в21К2 )			(- в31К3 )
Запишем матрицу рЕ-А1
		р		- а12	0
		р		- а12	0
рЕ - А1 =		- а21 + в21К1		р - а22 + в21К2	- а23 + в21К3		.
		- а31 + в31К1		- а32 + в31К2	р + в31К3

Вычислим ее определитель:

dеt(pE - A) = р[(p - a 22 + в21К2 )(р + в31К3 ) - (- а32 + в31К2 )(- а23 + в21К3 )] -

- а12 [(- а21 + в21К1 )(р + в31К3 ) - (- а31 + в31К1 )(- а23 + в21К3 )] =

= р3 + (в21К2 + в31К3 - а22 )р2 + (в21а32 К3 - в31а22 К3 + в31а23К2 -

- а12в21К1 + а12а21 - а32а23 )р + (а12а21в31К3 - а12а31в21К3 -

- а12а23в31К1 + а12а31а23 ) = 0.

Для обеспечения условия

dеt(рE − A) = DЖ(Р) = р3 + 2ω0 р2 + 2ω02 р + ω3

необходимо, чтобы коэффициенты при р одинаковых степеней были равны. В результате имеем три алгебраических уравнения:


																			в21К2 + в31К3 − а22 = 2ω0																													(4.5)
в		а	32	К		3	− в а			22		К		3	+ в				а		23	К		2		− а			12		в		21		К	1	+ а			12	а	21	− а	32	а	23	= 2ω2	(4.6)
	21		32			3			31	22				3				31			23			2					12				21			1				12		21		32		23	0
а	12	а	в		31		К	3	− а	12	а			в		21	К		3	− а			12		а		23	в		31		К		1	+ а			12	а		а	23	= ω3					(4.7)
	12		21		31			3		12			31			21			3				12				23			31				1				12		31		23

Выразим а и в через параметры системы. Подставим их значения и значение ω0 в уравнения 4.5, 4.6, 4.7. Решая эту систему уравнений, получим:

К1 = 0.3875, К2 = 0.275, К3 = -30.

Структурная схема САУ с учетом полученных коэффициентов имеет вид

(рис.4.8).

Uу2

−

TЯ RЯ

U у

E 1

KУМ

( ) 1

(−)

KPC

KУМ Tμ

R Я

(−) TЯ p

Uу1

RЯ

C е

KУМTμ p

R Я

(+)

Рис. 4.8.

Пример 9. Произвести анализ динамических процессов в системе 4.1 при включении после узла сравнения сигнала задания ω и выходной переменной ω, нелинейного звена с характеристической изображенной на рис. 4.9. Параметры системы взять из примера 4. Параметры звена: а = 0.01, В = 10. Использовать метод гармонического баланса.

Решение. Структурная схема системы может быть представлена рис. 4.10. Здесь звено НЭ характеризует нелинейный элемент, звено WЛ(Р) – линейную часть системы. Передаточная функция линейной части, на основании примера 2, равна:

WΛ(Ρ) =	K PCCM R Я		(TЯp + 1)		(4.8)
				.
	P[(Tµp + 1)(TЯp
		+ 1)JR Я + CеCΜTµ ]

-а

а ХВ

-в

Рис. 4.9

После преобразований выражение (4.8) можно записать

		WЛ(P ) =		K(TЯp + 1)
			р(Т12 р2 + Т2 р + 1),				(4.9)
где	К =	R ЯCΜK PC		, Т12 =	JR ЯTµTЯ	,	Т2 =	JR Я (Tµ + TЯ )	,
		JR Я + CeCM Tµ			JR Я + CeCM Tµ			JR Я + CeCΜTµ

ТЯ –	обобщенные коэффициент усиления и постоянные времени системы.
Подставив значения параметров системы, получим:
К=18,181818(В×с)-1, Т12 = 0.0003636×с2, Т2 = 0.0454545 с,							ТЯ = 0.04 с.

ω*	Xвх	Х	ω
		НЭ	WЛ(Р)
		НЭ
	(-)

Рис.4.10

Поскольку нелинейность неоднозначна, ее амплитудно– фазовую характеристику, для первой гармоники, нужно искать в виде:

′	(4.10)
WΗ (A) = q(A) + jq (A).

Выражения для коэффициентов q(A), q′(A) можно получить

самостоятельно по (2.6), (2.7), но проще взять из литературных источников. Так для заданной нелинейной зависимости, например, из [13], имеем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2019785 Кб581fedorenko_a_a_ivanchura_v_i_praktikum_po_teorii_avtomatiches.pdf
#
24.03.201964 Мб2055CompleteMaxwell3D_V15.pdf
#
22.06.2019578 Кб28Kontrol_2_Kommentarii.pdf
#
22.06.2019896 Кб25Lektsii_mikroprotsessory.pdf
#
22.06.20192 Мб135Maxwell_v16_L03_Static_Magnetic_Solvers.pdf
#
22.06.20191 Мб76Maxwell_v16_L07_Postprocessing.pdf