Pi
.pdfИНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЧИСЛЕ
© Юрьев Н. Я.
Декабрь, 2015 г.
Лишь в конце работы мы обычно узнаём,
с чего нужно было её начинать.
Б. Паскаль
Исторически сложившееся представление о числе , воспринимаемое сегодня как отношение предела суммы длин сторон вписанного в окружность многоугольника к длине линии в виде её диаметра, нуждается в дополнении в связи с тем, что в ходе создания нового математического аппарата анализа многомерных непрерывных взаимосвязанных замкнутых пространственных процессов сформировалось совершенно новое представление о существе этого числа, связанного с определением ранее неизвестного закона взаимосвязанных пространственных состояний.
Обусловлено было это тем, что существуют два отличающихся друг от друга вида протяжённостей: первые из которых характеризуется учётом изменения величин угловых протяжённостей — обороты, углы, градусы, радианы и их доли, а вторые — характеризуется учётом изменения величин линейных протяжённостей — парсеки, мили, километры, метры, миллиметры и их доли.
В то же время и в геометрии сложились устойчивые представления о двух типах линий — прямых и кривых, причём математические методы определения длин последних основаны на аппроксимации их отрезками таких прямых, длины которых стремятся к нулю при стремлении их количества к бесконечности.
Однако существуют и такие процессы, при исследовании которых требуется с одной стороны независимое по свободам, а с другой стороны взаимосвязанное по конструктивному исполнению описание характеров их одновременного прохождения и в свободе учёта изменения величин линейных протяжённостей, например, центра масс самолёта, и в свободе учёта изменения величин угловых протяжённостей, например, угловых положений плоскости крыла и направления оси вращения винта самолёта в пространстве.
Существующее определение траектории, как линии в пространстве, применительно к одновременному исследованию характера прохождения линейных и угловых процессов, становится не только нецелесообразным, но и невозможным, поскольку, во-первых, тот же самолёт перемещается не по линии в пространстве, которая по самому её геометрическому определения реально не существует, а именно по реальной траектории, описываемой функцией в соответствующей выбранной системе отсчёта координат, а во-вторых, не представляется возможным
даже представить линию угловых состояний самолёта, однозначно функционально взаимосвязанную с линией перемещений центра масс самолёта.
Для математического описания и исследования характера прохождения таких пространственных процессов необходимо использовать, по крайней мере, функции = ( , , , , , )
и их производные с аргументами учёта изменения величин линейных и угловых протяжённостей — это станет понятным в ходе последующего изложения существа обстоятельств.
Простейшим видом такой функции, описывающей состояние места пространства на плоскости относительно другого места на этой же плоскости, является функция = двух независимых аргументов — и , каждый из которых может иметь свою размерность.
Сам по себе выбор наименование любой конкретной размерности определён общими правилами, изложенными в [Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. Издательство «Наука», М., 1977 г., 336 стр. с илл. (стр. 13 — 14)]: «Измерить какую-либо величину
— это значит найти опытным путём отношение данной величины к соответствующей единице измерения. Это отношение и является, очевидно, мерой интересующей нас величины. . . . Вопрос о том, как определить единицу измеряемой величины, вообще говоря, может быть решён произвольно. И действительно, история материальной культуры знает громадное число разнообразных единиц, в особенности для измерения длины, площади, объёма и массы. Это разнообразие единиц сохранилось в некоторой степени и до нашего времени».
Вместе с тем существует и однозначная взаимосвязь между такими разнообразными единицами измерения, в том числе и между радианными и градусными угловыми единицами измерения: (рад)= 180○(град.) или радианными и оборотными угловыми единицами измерения:
2 (рад)= 1(оборот).
Однако когда рассматривается зависимость вида = (м) (рад.), где — произвольный множитель, то её часто ошибочно называют длиной линии дуги или окружности в размерностях величины (м) линейной протяжённости, а когда рассматривается зависимость вида
= (м) (град.), то её уже не называют длиной линии дуги или окружности в размерностях величины (м) линейной протяжённости, даже несмотря на то, что обе эти зависимости равноправны.
А ошибочно называют зависимость вида = (м) (рад.) — длиной линии дуги или окружности в размерностях величины линейной протяжённости по той причине, что забывают о том, что под длиной линии окружности всегда понимается только предел суммы длин сторон вписанного в окружность многоугольника при стремлении их числа к бесконечности, а их длин — к нулю, в результате чего отношение предела таких сумм длин сторон вписанного в окружность многоугольника к длине диаметра окружности действительно имеет наименование
2
результата деления размерностей однородных величин линейных протяжённостей, как это и показано в [Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. Издательство «Наука», М., 1977 г., 336 стр. с илл. (стр. 13 — 14)].
Если бы длина радиуса или диаметра окружности соответствовала длине некоторого, например, гибкого измерительного инструмента в виде курвиметра, который бы также назывался и метром, то путём опытного прикладывания (прокатывания) его к окружности можно было бы измерить длину предела суммы длин сторон вписанного в окружность многоугольника, при стремлении их числа к бесконечности, а их длины — к нулю, при этом размерность и измерительного инструмента и измеряемой длины оставалась бы одной и той же, то есть, характеризующей размерности именно величин линейных протяжённостей. При этом само отношение количества прикладываний измерительного инструмента, имеющего размерность в метрах, к
окружности, так же имеющей размерность в метрах, также имело бы наименование в метрах.
Однако то же самое почему-то не наблюдается, когда измеряется отношение предела суммы длин сторон вписанного в окружность многоугольника, имеющей размерность в метрах, к длине диаметра окружности, также имеющей размерность в метрах, в результате чего число
не имеет размерности.
Скорее всего это есть исторический результат или некоторой договорённости, или результат некоторой исторической невнимательности, или результат того, что в общем случае длина диаметра окружности всего лишь не соответствует длине того «подлинного и окончательного»
платино-иридиевого и хранящегося в Национальном архиве Франции «архивного метра».
Размерность же функций вида = (м) (рад.) и = (м) (град.), как это показано в [Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. Издательство «Наука», М., 1977
г., 336 стр. с илл. (стр. 23 — 26)], всегда определена произведением размерностей, входящих в
состав таких функций аргументов: (м рад.) и (м град.).
При исследовании этих особенностей с использованием новых математических методов про-
ведения функционального анализа и был выявлен способ определения числовой величины .
= |
|
|
(1) |
|
|
|
. |
||
2 |
|
|||
В (1) обозначение в виде , определяющее шаг |
двухзаходовой винтовой спирали, принято |
|||
умышленно с индексом для того, что бы в дальнейшем не использовать такой, например, параметр, как период колебаний, который связан со временем прохождения пространственного процесса, но не является по своей сути физической величиной, а обозначает всего лишь количество движений какого-то объекта, процесса или явления, принимаемых в качестве опорных, относительно которых и сравниваются количества движений любых других объектов, процессов или явлений. В данном случае анализируется абсолютный уединённый пространственный
3
процесс, который не позволяет в силу этого с чем-либо его сравнить, но, тем не менее, шаг двухзаходовой винтовой спирали является реально существующей величиной, принадлежащей свободе учёта изменения величин линейной протяжённости, и именно таким образом учитываемой. Обозначение в виде = 2 , выражающее длину диаметра двухзаходовой винтовой спирали через её радиус, принято также умышленно с индексом для того, что бы в дальнейшем оно ассоциировало с одной стороны с устоявшимися обозначениями амплитуды движения, колебания или процесса, а с другой стороны — с существовавшими и устоявшимися обозначениями зависимости числа именно только от величин линейной протяжённости. В полученной зависимости число также остаётся безразмерной величиной, поскольку определено именно только отношением величин линейной протяжённости.
Желающие могут попытаться привести аналогичные доказательства возможности получения этой зависимости аналитическим путём, а тот, кто это сделает лучшим образом, пусть представит для обсуждения и последующего опубликования свою уточнённую или расширенную формулировку определения существа числа .
На (рис. 1) представлена графическая пространственная подсказка, поясняющая существо условий, при которых производится доказательство того, что числовая величина может быть определена аналитическим путём.
Уточнённое определение для числа теперь такое: Отношение шага двухзаходовой
винтовой спирали к её диаметру = 2 , при условии взаимной ортогональности про-
тивоположно лежащих касательных к спиралям, есть число .
4
Рис. 1.
5