Исследование свободных процессов в электрических цепях (лаба 3) / Т.Л3 (Женя)
.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра ТОЭ
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №3 по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Студент гр. 7501 |
Мачеев Е.М. |
Преподаватель |
Гарчук А.А. |
Санкт-Петербург
2019
Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных частот и добротности RLC – контура по осциллограммам.
Подготовка к работе. В работе предлагается исследовать процессы в цепях,схемыкоторыхпредставленыниженарисунке.Цепивозбуждаютсяочень короткими импульсами тока i0(t), заряжающими емкость С. В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен (i0=0).
В линейных цепях свободный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи pk).
При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости Y(p):
Для цепи первого порядка, 
, откуда
Для цепи второго порядка |
откуда |
Для цепи третьего порядка, 
, откуда
,
2
Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи:
где Ак – постоянные интегрирования, n – порядок цепи.
У цепи первого порядка одна собственная частота, вещественная и отрицательная, свободный процесс имеет вид 
, процесс экспоненциальный, причем -постоянная затухания, а -постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рисунке ниже, а, причем -интервал времени, соответствующий любой подкасательной
кэкспоненте.
Вцепи второго порядка две собственные частоты могут быть вещественными или комплексно-сопряженными. Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:
где - постоянная затухания, - частота затухающих колебаний. Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рисунке «в».
Вцепивторогопорядкавозможентакжекритическийрежим 
(кратные собственные частоты); вид процесса
близок к диаграмме, показанной на рисунке «б», причем момент достижения максимума
, если
Дальнейшее увеличение порядка цепи к качественно новым явлениям не приводит. В схеме, изображенной на 3 рисунке выше, собственные частоты могут быть либо все три вещественные, либо одна – вещественная и две –
комплексно-сопряженные. Временная диаграмма
3
свободного процесса представлена на рисунке «г» –это сумма экспоненты и затухающей синусоиды.
В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. По рисунку а, можно рассчитать постоянную затухания.
Для случая рисунка в, постоянная |
затухания также |
может быть |
определена на основании (6), но при |
этом обязательно |
выполнено |
условие , что вытекает из (5). |
|
|
В случае рисунка б и г, найти собственные частоты можно лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдельные составляющие процесса.
Особыйинтереспредставляетопределениедобротности QRLC– контуров по виду свободного процесса. Для последовательного RLC – контура
где 
- частота незатухающих колебанийвидеальномконтуре(R1=0).Собственныечастотыпоследовательного RLC – контура можно записать следующим образом:
причем Q<0,5 соответствует апериодический режим, Q=0,5 – критический режим, Q>0,5 - колебательный режим, а Q= - незатухающий колебательный режим.
При Q>10 с высокой степенью точности можно считать 
Формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме рисунка в, имеет вид
Для повышения точности можно брать отношение напряжений за n
периодов колебаний:
4
Исследование свободных процессов в цепи первого порядка
С = 0,02 мкФ
R = 5 кОм
p1= − |
= − = −10000 |
= 10 |
с |
∆ = (20,053−19,298) 10
U1 = 20.542 B, U2 = 20.159 В
ln |
1 |
|
∆ |
|
(20,053−19,298) 10 |
|
||
= ∆ => = |
= |
= |
= 4 10 |
|||||
|
ln |
ln |
20.542 |
|||||
|
|
|
|
20.159 |
|
|||
В общем виде: ( ) =
5
Исследование свободного процесса в цепи второго порядка
С = 0,02 мкФ
L = 25 мГн
R4 = 3 кОм
R3 = 1.8 кОм
R2 = 0.5 кОм
R1 = 0 кОм Рассмотрим случаи по порядку.
1. R1 = 0 кОм
, = − ± |
− |
= − ± |
− |
= 0±√0− |
2 10 = ±20000√5j |
= 1⁄√ |
= 44721=20000√5 |
|
|
|
|
В общем виде: ( ) = |
cos(44721 )+ |
sin(44721 ) |
|
||
Добротность:
= 2 = 0 = ∞
Свободный (незатухающий) колебательный режим
6
2. R2 = 0.5 кОм |
|
|
|
|
|
|
, = − ± |
− = − ± |
− = − |
|
. |
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
− 2 10 |
= −10000±43589j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= 1⁄√ |
= 43589 |
|
|
|
|
|
В общем виде: |
|
|
|
|
|
|
( ) = |
cos(43589 )+ |
sin(43589 ) |
|
|||
Добротность: = = |
= ⁄2 |
= 10000 |
= 2,236 |
= 1⁄√ |
= 44721 |
Колебательный режим
3. R3 = 1.8 кОм
, = − ± |
− = − ± |
− = − |
|
. |
± |
|
|
|
|
|
|
. |
− 2 10 = −36000±26533j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= 1⁄√ |
= 44721 |
|
|
|
|
В общем виде: |
|
|
|
|
|
( ) = |
cos(26533 )+ |
sin(26533 ) |
|
||
7
Добротность: = = |
= ⁄2 |
= 36000 |
= 0.62 |
= 1⁄√ |
= 44721 |
Колебательный режим
4. R3 = 3 кОм
, |
= − ± |
|
− = − |
2 |
± |
2 |
− 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= − |
|
± |
|
|
|
− 2 10 = −20000, -100000 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1⁄√ |
= 44721 |
|
|
|
|
|
|||
В общем виде: |
( ) = |
|
+ |
|
|
|
|||
Добротность: |
= |
= |
|
= ⁄2 |
|
= 60000 |
= 0.373 |
||
|
= 1⁄√ |
|
= 44721 |
||||||
Апериодический режим
8
Исследование свободных процессов в цепи третьего вопроса
|
|
|
= 0,02 мкФ |
= 25 мГн |
= 5кОм |
1 = 1кОм |
||
|
= − 1 = −10000 |
|
|
|
|
|
||
, |
= −1 |
+ |
1 ± |
1 |
+ 1 |
− 2+ |
/ = −25000± |
∙61441 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
В общем виде: |
( ) = |
|
+ |
|
cos(61441 )+ |
sin(61441 ) |
||
Заключение: изучены свободные процессы в электрических цепях. Форма реакции цепи зависит от корней характеристического полинома цепи. Вещественные корни – апериодический режим – две затухающие экспоненты. Комплексно-сопряженные – периодический режим. Кратные – критический
9
апериодический режим. Графики аналитически отображают реакцию цепи. Для их точного отображения нужные коэффициенты, зависящие от начальных условий. Теоретические сведения, т.е. расчеты приведенные в отчете совпадают с моделированием – снятием осциллограмм процессов.
10