KMSF-Chast2-new
.pdfСредняя энергия одной частицы равна |
|
= − |
|
|
|
ln = |
3 |
|
|
= |
3 |
|
, |
а сред- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
няя энергия всех частиц = |
3 |
. |
Используя полученные выражения для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z, можно найти среднее давление . Для этого примем во внимание, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
, |
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 ln |
|
|
1 ln |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
∑ (− |
|
|
) − |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем, что |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.2. Идеальный газ Бозе - Эйнштейна.
Рассмотрим систему невзаимодействующих бозонов, находящихся в объеме V . В соответствии с (3.1) запишем статистическую сумму в явном виде
|
|
≡ |
− |
= |
∑ |
−{1(1− )+ ( − )+ … } |
= |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1,2,.. |
|
|
|
∑ |
1 |
−[1(1− )] ∑ |
2 |
−[2(2− )] … |
( =0,1,2,3, ….) |
(3.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждый из сомножителей (бесконечных рядов) в этом выражении равен
∑ |
|
−[ ( − )] |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= (1 + + |
+ ≡ ) = |
1− |
− ( − ) . |
(3.14) |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
Для статсуммы и свободной энергии имеем:
|
− |
= ∏ |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
= |
1 |
∑ ln[1 − |
− ( − ) |
], |
(3.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1−− ( − ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
(3.16) |
||
|
|
|
|
|
|
( |
− ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна, которая описывает распределение бозонов по энергиям.
Если учесть спин, то надо умножить свободную энергию на число спиновых состояний s . Сумму (3.15) можно найти, если заменить её интегралом по
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
фазовому объёму и заменить дискретный спектр непрерывным |
= |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
. Заметим, что теперь индекс можно заменить индексом p |
или k . То- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
гда, с учетом (3.10), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ ln (1 − − |
|
|
|
|
) |
|
3 |
|
|
∫ 3 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3.18) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(2 )3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Введем обозначения: |
= , |
|
|
2 = |
|
2 |
. |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
42 |
|
2 |
|
2 |
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
, |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(2 )3 |
(2 )3 |
22 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) ] = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
−2 |
|
2 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
( ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= (22) ( + 3 + |
|
3 + ) = (22) |
|
|
|
(3.19) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ≡ ∑∞ |
|
|
|
|
|
|
. Задав , можно найти , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Мы ввели здесь |
дзета-функцию |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а затем и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для полной энергии (3.12) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
+ = |
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
5/2( ) . |
|
(3.20) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим случай малых плотностей или высоких температур, когда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 1 |
|
|
|
|
3( ) = , 5( ) = . В этом классиче- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 25( ) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ском предельном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3( ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конденсация Бозе - Эйнштейна.
Особый интерес представляет собой случай низких температур. При понижении температуры параметр неограниченно возрастает, а дзета-функция
42
при > 1 расходится. Температура, при которой = 1 называется критической температурой Tc конденсации Бозе - Эйнштейна. Известно, что
3(1) = 2.612 , 5(1) = 1.341, и из (3.19) находим
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
22 |
( |
/ |
)2/3. |
(3.21) |
|
|
|
||||
|
|
|
2.612 |
|
|
|
|
|
|
|
Вблизи этой температуры заменять суммирование (3.15) интегрированием нельзя, так как низшие дискретны уровни вносят заметный вклад в сумму.
Рассмотрим = |
|
1 |
|
|
|
|
|
. Так как |
> 0, то должно выполняться |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( − ) |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
условие ( − ) > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 0- основное невырожденное состояние, тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
( |
− ) |
−1 |
|
( |
0 |
− ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Если теперь взять 0 за начало отсчета энергии |
(т. е. принять, что 0=0), то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Отсюда следует, что |
= − ln(1 + |
|
|
|
1 |
), |
а для больших |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При низких температурах T химический потенциал |
должен лежать вблизи |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нуля, поэтому для всех энергий |
|
> |
им можно пренебречь. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда для T < Tc : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возб = − 0 = ∑=1∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
(2 )3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 2.612 ( |
|
) |
2 |
= ( |
|
) |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
(3.22) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 = − возб = [1 − ( |
|
)2], |
|
|
|
|
|
|
(3.23) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 0.513 |
3 |
|
( |
|
)2 |
, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
~ 5/2. |
|
|
|
(3.24) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
|
3 |
|
5( ) |
|
|
Для T > Tc |
внутренняя энергия имеет вид = |
|
2 |
. Эта функция |
||
2 |
3( ) |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
убывает с ростом температуры. Вблизи критической температуры теплоёмкость имеет острый излом (“cusp”).
§3.3. Идеальный газ Ферми - Дирака.
Для идеального газа фермионов (электронов) свободная энергия также определяется формулой (3.15), в которой числа заполнения могут принимать всего два значения = 0, 1. Поэтому
= − 1 ∑ ln[1 − − ( − )],
|
|
|
= |
|
= |
|
|
1 |
|
. |
(3.25) |
|
|
|
|
( |
|
− ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение называется функцией распределения Ферми-Дирака, которая описывает распределение фермионов по энергиям. Для вычисления свободной энергии снова перейдем от суммирования к интегрированию и учтём, что для электронов s=2:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− ( |
|
2 |
|
− ) |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
= −2 |
|
|
|
|
∫ ln [1 + |
2 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
∫ = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
= −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ln [1 + − ( |
2 |
− )] 4 2 = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ln [1 + − ( |
2 |
− )] 2 , |
|
||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
2 |
(3.26) |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ( |
|
|
|
|
− ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
42 |
|
||||||||||||||||
= |
= − |
= 2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.27) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− ( |
2 |
− ) |
(2 )3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим некоторые свойства функции распределения Ферми-Дирака.
44
Рис.3.1. Заполнение состояний идеального ферми-газа при Т = 0 и при Т > 0.
Из (3.25) следует, что при Т = 0 все состояния с энергиями |
< запол- |
|||
|
|
|
|
0 |
нены, а состояния с большими энергиями |
> |
0 |
свободны. |
|
|
|
|
|
Так как свободные электроны занимают в импульсном пространстве сферу радиуса p0, то
|
|
|
42 |
|
|
|
|
4 |
3 |
|
1 |
|
|
= 2 |
∫ |
0 |
|
= 2 |
( |
0 |
|
) |
|
. |
(3.28) |
||
|
(2 )3 |
3 |
|
(2 )3 |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется энергией (уровнем) Ферми, а = 0/ –температурой Ферми.
Для простых металлов эту температуру можно оценить, используя две по-
следние формулы - 0 = 2(32)2/3. Оказалось, что, например, для меди (и
2
других металлов в твердом состоянии) ≈ 82000 K T. Говорят, что мы имеем сильно вырожденный электронный газ.
Найдем теперь плотность электронных состояний ( ), т.е. число состоя-
ний с энергией в интервале . Этому интервалу в импульсном пространстве отвечает сферический слой толщиной dp. Полное число состояний в
данном слое 2 42 = ( ) . Отсюда для квадратичного закона дисперсии
(2 )3
= 2 = 2 2 получаем
2 2
3/2 |
|
|
( )= 4 (2 )(2 )3 |
√ . |
(3.30) |
Полная энергия на единицу объёма при T=0 определяется выражением
45
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
42 |
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|||||
= |
|
= |
(0) |
= 2 |
∫ |
0 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
0 |
|
|
, а средняя энергия электрона в |
||
|
|
2 |
(2 )3 |
5 (2 )3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
металле равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
= |
|
3 2 |
= |
3 |
|
|
= . |
(3.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для Т ≠ 0 функция распределения расплывается (см. Рис.3.1.), а плотность и внутреннюю энергию можно вычислить лишь приближенно. Энергетический интервал расплывания функции распределения порядка kT, что много меньше значения уровня Ферми 0. В результате для низких температур имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
≈ 0(1 − |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) ), |
|
|
|
||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||
= |
3 |
[1 + |
|
5 |
|
2 |
( |
|
)2 + ], |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
0 |
|
12 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
= 0 + 2 |
|
( = |
|
|
|
|
√ |
0 |
2, = |
4 (2 ) |
) . |
(3.32) |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 ) |
|
Отсюда следует линейная зависимость удельной теплоемкости металлов
от температуры |
= |
|
= 2 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
§3.4. Статистический оператор (матрица плотности) и корреляционные
функции.
Известно, что в квантовой механике каждой физической величине A соответствует оператор ̂. Наблюдаемыми на опыте значениями этой величины являются квантово - механические средние
|
≡ |
̂ |
|
≡ ∫ |
|
̂ |
|
( ), |
(3.33) |
| | |
|
( ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ( ) – ортонормированные собственные функции гамильтониана системы:
̂ |
|
( ) = |
( ). |
(3.34) |
|
||||
|
|
|
|
|
В (3.34) индекс n нумерует состояния, - совокупность независимых координат, - соответствующие собственные значения. Если оператор ̂ коммутирует с гамильтонианом ̂, то система { } является системой его собственных функций, а наблюдаемые значения (3.33) будут собственными значениями оператора ̂.
В квантовой статистической механике под наблюдаемой величиной понимается её среднее статистическое значение, которое определяется выражением
46
̂ |
|
|
|
. |
(3.35) |
= ∑ |
|
|
|||
|
|
|
|
В этом выражении - вероятность обнаружить систему в состоянии n, или статистический вес этого состояния. Очевидно, что должно выполняться условие
∑ |
= 1, |
(3.36) |
т |
|
|
которое означает, что полная вероятность всех вантовых состояний равна единице.
Введем квантово-статистический оператор (матрицу плотности), который в матричном представлении (x - представлении) имеет вид
̂( , ′) = ∑ |
|
|
|
( ) |
( ′). |
(3.37) |
|
|
|
|
|
|
Из ортонормированности волновых функций и (3.37) следует, что
∫ ̂( , ) = |
∑ |
|
|
|
|
|
= |
∑ |
|
= 1. |
(3.38) |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Запишем теперь выражение для среднего значения оператора ̂ при помощи
матрицы плотности (3.37):
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
̂ |
|
|
|
|
|
||||||
= ∑ |
|
|
∫ |
( ) = ∑ |
|
|
|
( ) ( ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (заменим индексы ↔ и подставим |
|
|
= ∫ (′) |
(′) ′ ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
) |
|
|
|
|
|
|
′ |
) |
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
≡ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
) |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||
|
≡ |
, |
|
|
|
|
|
( |
|
|
( ) |
|
( |
|
|
( ) |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
′ |
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
|
||||||||||||||
|
, |
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
̂ |
|
|
|
|
′ |
|
= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
̂ |
|
′ |
|
|
′ |
|||||
|
= ( ( , |
|
|
) |
|
∑ |
|
|
|
( |
) |
|
( )) = ̂( |
, ) ( , |
|
) |
. (3.39) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
Здесь мы ввели матричное x - представление для оператора . Выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3.39) обычно записывают в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ̂), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где шпур берется по координатам x. Последняя запись удобна тем, что она не зависит от представления операторов ̂ и ̂. В частности, под шпуром можно понимать сумму по собственным состояниям
̂ |
|
̂ |
|
= ∑ |
|
̂ |
̂ |
|
≡ ∑ |
|
|
. |
(3.41) |
= ∑ |
( ̂) |
|
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
В квантовой статистике это представление (n-представление) наиболее удобно. Распределение вероятностей для случая статистического равновесия выбирают в виде канонического распределения Гиббса:
= Ζ−1e− εn, |
|
(3.42) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
1 |
|
|
|
|
Ζ = ∑n e− εn = Spe− , |
= |
|
, |
= − ln . |
(3.43) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Поэтому, в x – представлении статистический оператор в случае статистического равновесия даётся выражением
̂( , |
′) = ∑ |
|
eβ( −εn) |
|
( ) |
( ′), |
(3.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а сам оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
̂ |
|
|
(3.45) |
̂ = Ζ−1e− = e( − ). |
|
Независимыми переменными в каноническом ансамбле Гиббса являются температура T, объём V и число частиц N. Поэтому, при суммировании по квантовым состояниям необходимо учитывать только состояния с заданным числом N, что существенно затрудняет процедуру взятия шпура. Чтобы не связывать себя условием постоянства числа частиц, удобно перейти к большому каноническому ансамблю, где независимыми переменными являются T, V и химический потенциал . Для этого в гамильтониан вводится дополнительный член
̂ |
̂ |
̂ |
, |
(3.46) |
|
− |
|||
и накладывается дополнительное условие |
|
|
̂ |
|
|
= , из которого определятся |
химический потенциал . В этом случае статистический оператор имеет вид
̂ ̂ |
̂ ̂ |
(3.47) |
̂ = Ζ−1e− (− ) = e(Ω− + ), |
||
где |
|
|
̂ |
̂ |
(3.48) |
Ζ = Spe− (−). |
В (3.47) величина Ω называется термодинамическим потенциалом системы в переменных T, V и . Теперь в формулах для статистических средних значений можно суммировать по всем состояниям без ограничения на число частиц в системе.
Рассмотрим ансамбль систем с гамильтонианом ̂( ), зависящим от времени. Матрица плотности в этом случае определяется выражением
|
̂( , ′, ) = ∑ |
|
|
|
( , ) |
( ′, ), |
(3.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
не зависят от t. Функции |
( , ) являются решениями нестационар- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного уравнения Шредингера, удовлетворяющими начальному условию
48
|
( , ) |
=0 |
= |
( ). |
(3.50) |
|
|
|
|
|
Таким образом, ̂( , ′, ) =0 = ̂( , ′). Используя уравнение Шредингера в матричном виде
|
|
|
|
Ψn(x,t) |
= ∫ ( , ′) Ψ (x′, t)dx′, |
(3.51) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
′ |
) |
= ∑ |
|
|
|
′ |
̂ |
|
(3.52) |
|
|
|
|
( , |
|
|
( |
) ( )), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и свойство эрмитовости гамильтониана |
|
( ′, ) = ( , ′), можно полу- |
||||||||||||
чить уравнение движения статистического оператора в матричной форме |
||||||||||||||
|
ρ(x,x′,t) |
|
= ∫[ ( , ′′)ρ(x′′, x′, t) − ρ(x, x′′, t) ( ′′, ′)] ′′ . |
(3.53) |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется квантовым уравнением Лиувилля. |
В оператор- |
|||
ной форме оно имеет вид |
|
|
|
|
|
ρ |
̂ |
̂ |
(3.53) |
|
= ̂ |
− ̂ . |
При помощи оператора ̂ можно вычислить среднее от произведения нескольких операторов
̂ |
̂ |
|
̂ |
|
̂ |
̂ |
|
̂ |
|
(3.54) |
|
|
… . |
= ( ̂ |
|
… . . ). |
|||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
Эти средние значения определяют корреляцию одной или нескольких физических характеристик системы частиц и называются корреляционными функциями.
В квантовой теории особое значение имеет корреляционная функция двух операторов
̂ ̂ = ( ̂ ̂ ̂).
В случае равновесия
̂ ̂ |
−1 |
|
|
|
− εn |
|
|
|
= |
∑ |
, |
e |
|
. |
(3.55) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Использование статистического оператора ̂ обеспечивает максимально полное статистическое описание квантовой системы.
49
Литература
1.А.Н. Матвеев, Молекулярная физика, М., Высшая школа, 1981.
2.Д.В. Сивухин, Курс общей физики, том 2 “Термодинамика и молекулярная физика”, М., Наука, 1979.
3.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, том 5 “ Статистическая физика”, Часть 1, М., Физматлит, 2001.
4.Р. Фейнман, Статистическая механика, М., “Мир”, 1975.
50