KMSF-Chast1-new

Если оператор физической величины не зависит явно от времени, то

Отсюда следует, что среднее значение производной оператора, коммутирующего с гамильтонианом, равно нулю. Такие величины называются сохраняющимися величинами. Очевидно, что сохраняющейся величиной является полная энергия системы, т.к. гамильтониан всегда коммутирует сам с собой. Поэтому, для того, чтобы среднее значение физической величины сохранялось, необходима коммутация квантового оператора этой величины с гамильтонианом.

Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении

§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

Поскольку вне “ямы” потенциальная энергия равна бесконечности, можно ввести “естественные” граничные условия

23

Мы получили условие квантования уровней энергии в потенциальной яме с бесконечными стенками, поскольку отличные от нуля решения имеются только для целых чисел n. Окончательно решение уравнения (3.3) имеет

мильтониана при данных граничных условиях. Постоянную А находим из

мы имеем коммутатор оператора импульса с гамильтонианом равным нулю

менно измеримы. Однако, это не так. Собственная волновая функция им-

только по модулю имеемет постоянное значение, но сам импульс р не имеет определенного значения.

В окончательном виде собственные функции и энергии:

24

Легко построить графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n. При n = 1 имеем низшее (основное) значе-

Рис.3.1. Графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n.

Расстояния между соседними уровнями

1) Атомы или молекулы находятся в сосуде с размерами а ~ 1 см. Масса молекулы m ~ 10-23 г. Энергии квантованы, но расстояние между уровнями энергии

чрезвычайно мало. Для наших приборов они представляют практически сплошной спектр. Дискретность уровней никак не сказывается на движении молекул в таком сосуде;

2) В металле свободные или валентные электроны находятся в “потенциальной яме”, размеры которой пусть также порядка а ~ 1 см. Расстояния между уровнями при массе электронов m ~ 10-27 г равны

и дискретность уровней по-прежнему не сказывается на движении электронов в металле;

3) Для электронов, находящихся в яме с размерами порядка размеров атома а ~ 10-8 см, расстояние между уровнями весьма существенно

Рассмотрим теперь 3-х мерную прямоугольную яму с бесконечными стенками. Пусть размеры ямы равны: a, b, c. Внутри ямы потенциальная энергия равна нулю: U = 0 при 0 x a, 0 y b, 0 z c. На границах U = . Движение частицы в яме происходит независимо вдоль осей x, y и z. Тогда волновая функция может быть представлена в виде произведения функций

Когда размеры ямы: a, b, c соизмеримы, либо a = b (b = c), либо a = b = c возникают вырожденные уровни энергии, когда одному и тому же значению энергии соответствуют несколько состояний, описываемых различными функциями.

§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками

26

Рассмотрим одномерную прямоугольную яму со стенками конечной высоты.

U0

E

x

Рис.3.2. Одномерная прямоугольная яма со стенками конечной высоты.

Выберем начало координат на дне ямы симметрично относительно стенок:

Найдем сначала решения уравнения Шредингера внутри и вне ямы. Для получения общего решения необходимо “сшить” эти решения на границе ямы. При энергии частицы E > U0 имеем непрерывный спектр энергий, частица пролетает над ямой и может иметь любую энергию. В самом деле, внутри

Рассмотрим подробнее случай, когда энергия частицы E < U0. В этом случае мы получаем дискретный спектр связанных состояний. Для двух областей:

Собственные числа оператора четности могут быть получены, если повторно подействовать им на исходную волновую функцию. Тогда получаем, что

ет с гамильтонианом рассматриваемой задачи

Из (3.15) следует, что все собственные функции гамильтониана имеют определенную четность. Рассмотрим эти состояния поочередно.

Нечетные состояния. Запишем решения уравнений (3.13) и (3.14) для

нечетных состояний

Рис.3.3. Схематический вид нечетной волновой функции в прямоугольной яме

конечной глубины.

На Рис.3.3. показано, что частица проникает вне области ямы, при этом глубина проникновения частицы под барьер L ~ 1 .

Из условий непрерывности волновой функции и её производной на границе x = a/2 следует:

28

Это трансцендентное уравнение определяет энергии разрешенных состояний. То же самое уравнение получим в силу симметрии из граничного усло-

получаем

Рассмотрим решение этого уравнения графически, для чего построим отдельно правую и левую части уравнения. Точки пересечения дают корни этого уравнения. Из рисунка видно, что решения имеются не при всех . Чем больше мощность ямы , тем больше корней уравнения - больше уровней энергии. При уменьшении число корней уменьшается. А при мощности

29

корней соответствующих нечетным состояниям нет вовсе. Напомним, что t0 = 0 и E0 = 0 не являются корнями, т.к. при этом решение внутри ямы естьAx , которое не удовлетворяет граничным условиям.

tgt

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий нечетных состояний.

Четные состояния. Запишем теперь решения для четных состояний:

30

В силу симметрии то же уравнение дают граничные условия при x = -a/2. Из графического решения этого уравнения видно, что при всех возможных значениях параметра хоть одно решение есть всегда. Чем больше , тем больше четных решений.

Рис.3.4. Графическое нахождение собственных энергий четных состояний.

Итак, при мощности ямы получаем одно четное решение, при мощности2 получаем два четных решения и т.д.

Рассмотрим теперь “мелкую” яму, для которой << 1. Для такой ямы достаточно легко найти энергию единственного четного состояния (t << 1).

31

квадрата волнового числа

В одномерной яме с конечными стенками всегда существует хотя бы одно связанное состояние. При малой глубине и ширине (мощности) ямы в яме имеется только один четный уровень. С ростом U0 и a растет мощность ямы,

где n – целое число. Четные и нечетные уровни появляются по очереди, причем вначале четные. Качественное поведение волновых функции низших состояний показано на Рис.3.5. Возводя в квадрат эти волновые функции, получаем плотность вероятности нахождения частицы при данной координате.

Рис.3.5. Качественное поведение волновых функции низших состояний.

32