
- •Глава 1. Волновые свойства частиц
- •§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм
- •§1.2. Волны де Бройля и их экспериментальное подтверждение
- •§1.3. Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей
- •Глава 2. Математический аппарат квантовой механики
- •§ 2.1. Уравнение Шредингера
- •§2.2. Операторы
- •§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства
- •§2.4. Вычисление средних значений. Обозначения Дирака
- •§2.5. Дифференцирование операторов по времени
- •Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении
- •§3.1. Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками
- •§3.2. Одномерная потенциальная яма с конечными стенками
- •§3.3. Потенциальные барьеры
- •§3.4. Линейный гармонический осциллятор
- •§3.5. Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения
- •Глава 4. Момент импульса
- •§4.1. Момент импульса в квантовой механике
- •§4.2. Оператор момента импульса в сферической системе координат
- •§4.3. Оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат
- •Глава 5. Физика атомов
- •§5.1. Уравнение Шредингера в центральном поле
- •§5.2. Уравнение для радиальной части волновой функции
- •§5.3. Уравнение для угловой части
- •§5.4. Состояние электронов в атоме. Спин электрона
- •§5.5. Магнитный момент атома
- •Глава 6. Теория возмущений
- •§6.1. Стационарная теория возмущений
- •§6.2. Нестационарная теория возмущений
- •§6.3. “Золотое ” правило Ферми
- •§1.1. Корпускулярно-волновой дуализм 4
§2.3. Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства
Непосредственно
измеряемые (“наблюдаемые”) физические
величины вещественны, т.е. все собственные
значения оператора
- { gn
} должны быть вещественны. В результате
измерения физической величины, описываемой
оператором
,
получаем:
1)
если физическая система (частица)
находится в состоянии, описываемом
собственной функцией
,
то при измерении получим соответствующее
собственное значение gn
;
2)
если система (частица) описывается
произвольной функцией
,
то при измерении наблюдаемой, т.е.
действии оператора
,
получим линейную комбинацию из собственных
значений gn
- некое среднее значение, которое тоже
вещественно.
Введем
понятие транспонированного
оператора
,
который определяется из соотношения
,
(2.34)
т.е.
транспонированный оператор дает тот
же результат, действуя на левую функцию,
что и оператор
,
действуя на правую.
Самосопряженные операторы определяются следующим равенством
где
- оператор, сопряженный к оператору
.
Если
(2.36)
то
этот оператор называется эрмитовым
или самосопряженным
оператором. Можно сказать, что действие
оператора
на правую от него функцию совпадает с
действием комплексно сопряженного
оператора на левую функцию:
Таким образом, сопряженный оператор – это комплексно сопряженный оператор от транспонированного оператора
Рассмотрим
оператор дифференцирования
.
Будем считать, что волновые функции
равны нулю на бесконечности. Вычислим
оператор, сопряженный оператору
с помощью интегрирования по частям:
Таким
образом, оператор, сопряженный оператору
,
равен
и,
следовательно, оператор
не является
эрмитовым.
Очевидно, что
оператор
импульса
- самосопряженный оператор.
Оператор
координаты
также эрмитов оператор.
Рассмотрим
уравнения
и
(2.39)
Данное равенство означает, что собственные значения эрмитова оператора вещественны.
Произведение двух эрмитовых коммутирующих операторов есть эрмитов оператор
Пусть
мы имеем дискретный набор собственных
значений и собственных функций эрмитова
оператора
(причем считаем, что нет вырождения,
т.е. все волновые функции
разные для разных собственных значений
):
В математике строго доказано, что набор собственных волновых функций эрмитова оператора образует полную систему ортонормированных волновых функций, т.е.
В самом деле, для доказательства ортогональности рассмотрим два равенства
Умножим
слева первое уравнение на
,
второе на
,
и проинтегрируем. Вычитая второе
уравнение из первого уравнения и
учитывая, что (
-
эрмитов оператор)
,
получаем:
,
Отсюда
следует, что если n
m,
то
.
Полнота
набора означает, что любую функцию можно
разложить в ряд по функциям
.
В
случае, когда имеем вырождение, волновая
функция берется в виде линейной комбинации
,
где все волновые функции имеют одно и
то же собственное значение
.
При этом линейные комбинации можно
сделать такими, что новые волновые
функции будут ортонормированными.
Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд по системе собственных функций самосопряженного линейного оператора
Коэффициенты
разложения можно получить, умножив обе
части выражения на
и интегрируя:
Таким образом,
Квадрат
коэффициента
дает вероятность того, что в состоянии,
описываемом
,
присутствует примесь состояния
.
Если имеем непрерывный спектр значений, тогда волновую функцию раскладываем в интеграл
,
(2.47)
где коэффициенты определяются
Волновые функции непрерывного спектра нормируются на - функцию
Свойства - функции.
Функция
везде равна нулю за исключением точки
x
= a,
где она обращается в бесконечность:
или
Интеграл
от -
функции равен единице (бесконечность
с мощностью равной 1):
или
Геометрически -функцию можно рассматривать как предел максимума, стремящегося к бесконечности в точке a и сохраняющего площадь под кривой равной единице. Важное свойство - функции состоит в том, что она “вырезает” из функции в подынтегральном выражении значение этой функции в точке a
Последнее
условие и нормировка позволяет получать
коэффициенты
.