2.2 Принципы оптимизации параметров

Качество любой системы определяется вектором К = (К₁…, К_i…_, К_м) показателей качества.

Каждый из показателей К_i (i = 1…m) является таким параметром системы, с увеличением или уменьшением качество системы монотонно улучшается при прочих равных условиях.

Оптимальной системой называется такая система, которая обладает зна-

чением вектора К, наилучшим в заранее установленном смысле.

Критерий, согласно которому одно значение вектора К считается лучше или хуже другого его значения, называется критерием оптимальности системы.

Показателями качества системы могут быть, например, занимаемый объем V, масса М, потребляемая мощность Р и другие параметры в зависимости от конкретной системы и условий ее эксплуатации.

Очевидно, что критерием оптимальности системы в отношении, например объема, К₁ = V будет зависимость: чем меньше V, тем лучше К₁ и так далее.

Одной из основных задач при оптимизации системы в целом является оптимизации системы в целом является оптимизация ее параметров х₁, х_i, х_м, х_n (n>м), то есть отыскание таких значений х₁, х_i, х_м, х_n, при которых достигается наилучшее значение вектора К показателей качества.

Каждый из показателей качества К₁, К₂, …, К_м в общем случае зависит от всех n параметров системы:

(11)

Функции f_м называют целевыми функциями.

Наряду с обоснованием вектора К показателей качества (определением целевых функций) системы и критерия оптимальности для оптимизации параметров системы в исходных данных в общем случае требуется установить совокупность ограничений, накладываемых на показатели качества и параметры синтезируемой системы.

Ограничения и число показателей качества должны быть выбраны либо откорректированы в прочесе проектирования таким образом, чтобы данным значением вектора К обладал вполне определенный класс систем.

Оптимизация системы, производится на основе вектора показателей качества, то есть с учетом нескольких целевых функций, называется (многокритериальной) оптимизацией.

Скалярная оптимизация осуществляется по одному показателю качества. Сущность решения векторных оптимизационных задач состоит в сведении их к скалярным задачам различными методами.

Можно, например, построить некоторую обобщенную целевую функцию К = f(К₁, …, К_м) или использовать только один (определяющий) показатель качества, а все остальные перевести в разряд ограничений какого-либо типа.

2.3 Основные методы оптимизации параметров

Задача оптимизации – найти вектор параметров системы Х = (х₁, х_i, х_n), обеспечивающий экстремум целевой функции:

f (x₁, x_i, x_n) = min (max) (12)

При условиях ограничений g_j (x₁, x_n) ≤ 0, j = 1,2 ÷ J, J < n.

При известной целевой функции и функциях связи оптимизации параметров сводится к задаче отыскания глобального условия экстремума функции многих переменных.

Если на переменные х₁, x_n не наложено никаких ограничений, то экстремум называется безусловным.

На практике для упрощения отыскания условного экстремума иногда сначала находят безусловный экстремум или сводят задачу на условный экстремум к соответствующей задаче на безусловный.

Если целевая функция f (х₁, х_n) или хотя бы одна из функция ограничения g_j (x₁, x_n) нелинейны относительно переменных х₁, х₂, х_n, то задача отыскания экстремума целевой функции является задачей нелинейного программирования, которая имеет аналитическое решение в некоторых частных случаях.

Получить решение этой задачи аналитическим путем в общем виде не удается, поэтому приходится прибегать к численным методам, требующим использование электронно-вычислительных машин.

Наиболее широкое применение для решения таких задач нашли методы,

основанные на вычислении градиента целевой функции.