4.2 Интегральная и дифференциальная формы закона полного тока

Количественная связь между циркуляцией вектора по замкнутому кон­туру и током внутри контура определяется законом полного тока в интегральной форме – линейный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равен полному току, пронизывающему замкнутый контур /3, с.99/:

(8)

Интегральную форму закона полного тока применяют, когда может быть использована симметрия в поле.

Соотношение (8) справедливо для контура любых размеров, в том числе и весьма малого. Если площадь контура мала, то можно полагать, что плотность тока в пределах этой площадки одинакова. Тогда можно записать закон пол­ного тока в дифференциальной форме:

(9)

Уравнение (9) записано в общей форме безотносительно к системе коор­динат, и в каждой конкретной системе координат оно раскрывается по-своему.

Системы координат в каждом случае выбираются произвольно. В декарто­вой системе ротор напряженности МП можно представить в виде определителя /3, с.103/:

(10)

В цилиндрической системе координат, где координаты – расстояние от центра до точки r, угол между направлением на точку и положительной полу­осью α, высота z, справедливо выражение проекций ротора на различные коорди­наты /3, с.103/:

(11)

В сферической системе координат проекции ротора по радиусу R и двум углам α и θ /3, с.103/:

(12)

4.3 Принцип непрерывности магнитного потока

Магнитный поток есть поток вектора магнитной индукции через некото­рую поверхность. Вошедший внутрь любого объема магнитный поток равен маг­нитному потоку, вышедшему из того же объема. Следовательно, алгебраическая сумма вошедшего и вышедшего потока равна нулю /3, с.104/. Если объем беско­нечно мал, то можно записать дифференциальную форму принципа непрерывно­сти магнитного потока:

(13)

Выражение (13) пригодно для любой точки магнитного поля. Следова­тельно, в любой точке этого поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнит­ной индукции. Линии вектора магнитной индукции нигде не прерываются, они представляют собой замкнутые сами на себя линии. Однако вектор Н прерывен на границах сред с разными магнитными проницаемостями.

4.4 Скалярный потенциал магнитного поля

Если ротор векторной величины отличен от нуля, то такое поле называется вихревым, иначе поле является потенциальным. Так как для магнитного поля ро­тор напряженности равен плотности тока, то в областях, не занятых током, маг­нитное поле можно рассматривать как потенциальное /3, с.104/. Это значит, что каждая точка имеет скалярный магнитный потенциал . Следовательно, для та­ких областей можно принять:

(14)

Учитывая выражение (13), получим, что скалярный потенциал подчиня­ется уравнению Лапласа:

(15)

Разность скалярных магнитных потенциалов называется падением маг­нитного напряжения. Здесь наблюдается полная аналогия с электрическими це­пями: закон Ома – закон полного тока, магнитное напряжение – электрическое напряжение, падение магнитного напряжения – падение напряжения в электриче­ской цепи, электродвижущая сила (ЭДС) – магнитодвижущая сила (МДС). Ска­лярный потенциал широко используется при расчете магнитных полей.