2.4 Расчет полей по методу сеток

Метод сеток представляет собой числовой метод интегрирования диффе­ренциальных уравнений в частных производ­ных путем сведения их к уравнениям в конечных разностях.

На рисунке 3, а изображен участок двухмерного поля. На нем показаны оси х и у декартовой системы и квадратная сетка со стороной b. Точки (узлы) сетки обозначены цифрами 0, 1, 2, 3, 4. Примем ₀ — потенциал точки 0, ₁ — по­тен­циал точки 1 и так далее. Выведем приближенное соотношение между потен­циалами ₀ — ₄ вытекающее из уравнения Пуассона. Среднее значение первой производной /х на участке 1—0 приближенно равно (/х)_1-0 =(₁ — ₀)/b, на участке 0—2 (/х)_0-2 =(₀ — ₂)/b

Рисунок 3 – Расчет полей по методу сеток

Вторая производная ²/х² в точке 0 приближенно равна разности сред­них значений первых производных /х на участках 1—0 и 0—2, отнесенных к рас­стоянию b между серединами отрезков 1—0 и 0—2:

(1)

(2)

Запишем уравнение Пуассона для двухмерного электростатического поля:

(3)

где _своб - свободный заряд в точке 0.

Подставим в уравнение Пуассона приближенные выражения для ²/х² и ²/y².

Получим

(4)

Если поле описывается уравнениями Лапласа, то _своб = 0

(5)

Уравнения (4) и (5) определяют связь между потенциалами квадратной сетки и являются основными в методе сеток. Чем меньше шаг сетки b, тем меньше погрешность от замены уравнений Пуассона или Лапласа соответственно на уравнения (4) или (5). При расчете по методу сеток применяют не только квад­ратные, но и иные сетки, например полярные. Для них имеются формулы в ко­нечных разностях, в общем случае отличные от формул (4) и (5).

Допустим, что двухмерное поле, подчиняющееся уравнению Лапласа, ог­раничено некоторыми поверхностями и известны значения производной от потен­циала по нормали к каждой граничной поверхности во всех точках (задача Ней­мана). Возможны и комбинированные типы задач, когда для одной части гранич­ных поверхностей известны значения потенциалов, а для другой — значения нор­мальной производной от потенциала.

Требуется найти значений потенциалов прямоугольной сетки этого поля. Последовательность расчета для задачи Дирихле проиллюстрируем на примере расчета поля, образованного двумя параллельными прямыми углами рис. 3, б. В месте поворота расстояние между параллельными сторонами угла изменяется. Потенциал верхней границы положим равным 75 единицам, нижней — нулю. Бу­дем полагать, что объемные заряды отсутствуют.

а) Тонкими сплошными линиями нанесем квадратную сетку. Обозначим узлы получившихся квадратов буквами а, б, в, г, д ... (расположены в кружках).

б) Произвольно выберем значения потенциалов узлов а, б, в, ... Объем дальнейшей вычислительной работы в значительной мере зависит от того, на­сколько близко к действительному выбрано первоначальное распределение по­тенциала. Поэтому следует стремиться к возможно более правдоподобному пер­воначальному распределению потенциала.

Для этой цели нанесем на рисунок 3 приближенную картину силовых и эк­випотенциальных линий и, руководствуясь ею, запишем начальные значения по­тенциалов узлов (цифры слева и вверху у каждого узла).

Для каждого узла находим остаток в формуле (5). Так, остаток для точки б 53 + 50 + 75 + 25 - 4·50 = 3. Записываем величину остатка в правом верхнем углу у каждого узла.

Поскольку в каждом узле остаток должен быть равен нулю, то дальнейший и наиболее трудоемкий этап расчета состоит в таком изменении потенциалов уз­лов, чтобы остатки во всех узлах не превышали некоторой заданной величины (скажем, 1 или 2).

Поэтому в одной из точек с наибольшим значением остатка изменяем по­тенциал приблизительно на ¹/₄ от остатка (в рассматриваемом случае в точке б уменьшаем потенциал на единицу и затем пересчитываем остатки во всех осталь­ных узлах). Вновь полученные остатки записываем в левом нижнем углу у каж­дого узла (на рисунке они выписаны не для всех узлов). Такая операция выпол­ня­ется несколько раз до тех пор, пока все остатки не станут равны или меньше за­данной величины. Процесс является сходящимся. При расчётах используют вы­числительные машины.

Метод применим для магнитных и электрических полей, линейных и не­линейных сред, для неизменных и изменяющихся во времени полей.