Разработка программного обеспечения микропроцессорной системы автоматической коррекции скорости / Расчет устойчивости

5 РАСЧЁТ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

5.1 Расчёт передаточной функции и построение АЧХ непрерывной части системы

Для расчетов передаточных функций и построения характеристик системы воспользуемся программой MATLAB.

Определим передаточную функцию разомкнутой системы :

Wр=

Передаточная функция замкнутой системы:

Так как в данной САР установлен цифровой микропроцессор, который осуществляет вычисление сигнала рассогласования и посылает управляющие сигналы на устройства системы, то расчет следует провести для дискретной системы. При этом необходимо задать период дискретизации (интервал опроса датчиков)

системы.

Чем меньше период дискретизации Т₀, тем более дискретная система приближается по своим свойствам к непрерывной. Однако при слишком малых значениях Т₀ процессор в реальной системе может не успевать выполнять все необходимые вычисления. Кроме того, при уменьшении Т₀ увеличивается число шагов переходного процесса. Так как вычисления проводятся по рекуррентным формулам, неизбежные ошибки вычислений накапливаются от шага к шагу и при чрезмерно большом числе шагов ошибка вычислений может превысить допустимую величину (система может оказаться неустойчивой, либо с неудовлетворительным качеством переходного процесса). В силу сказанного, Т₀ не должно быть слишком мало. Выберем период дискретизации равным постоянной времени электродивгателя деленым на 10. Тд/10=0,01 с (опрос датчиков происходит примерно 10 раз в секунду).

5.2 Проверка устойчивости дискретной системы по частотному критерию

Частотный критерий устойчивости импульсных систем аналогичен критерию устойчивости Найквиста для непрерывных систем, и формулируется следующим образом: если разомкнутая импульсная система устойчива, то замкнутая импульсная система регулирования устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы не охватывает точку (-1; j0).

Построим АФЧХ разомкнутой системы с передаточной функцией замкнутой цепи, для чего осуществим переход от операторной формы записи передаточной функции к z-форме.

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы примет вид:

Построим АФЧХ разомкнутой дискретной системы:

Рисунок - АФЧХ разомкнутой дискретной системы

Так как АФЧХ разомкнутой системы, построенная на рисунке , не охватывает точку (-1; j0), то замкнутая импульсная система регулирования устойчива.

5.3 Построение логарифмических частотных характеристик системы и их анализ

Линейные типовые звенья можно разделить на два типа – непрерывные и дискретные. Частотные характеристики линейных непрерывных типовых звеньев находятся из передаточных функций после подстановки в них s = jω и выделения действительной и мнимой частей, т.е.

W₀ (jω) = U₀ (ω) + jV₀ (ω)     ()

где U₀ (ω) и V₀ (ω) – соответственно действительная и мнимая частотные характеристики.

Пользуясь выражением (), в декартовой системе координат строят амплитудно-фазовые частотные характеристики W₀ (jω). . Если перейти к полярной системе координат, то выражение () можно переписать в виде:

W₀ (jω) = H'₀ (ω) e ^jθ₀ ^(ω),     ()

где H'₀ (ω) и θ₀ (ω) – соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Из выражений () и () можно найти формулы для вычис­ления амплитудной и фазовой частотных характеристик:

()

()

Частотные характеристики линейных дискретных типовых звеньев находятся путем приведения передаточных функций к ком­плексной переменной

s̄ = jω̄, которая связана с переменными s и z следующими соотношениями:

()

()

Логарифмические частотные характеристики представляют собой амплитудную и фазовую частотные характеристики САР, построенные в полулогарифмическом масштабе.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) системы называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики (АЧХ), построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот:

,

где - амплитудно-частотная функция системы.

Тогда для построения ЛАЧХ можно использовать передаточную функцию непрерывной разомкнутой системы. Данное выражение представляет собой произведение коэффициента усиления и передаточных функций элементарных динамических звеньев.

Известно, что псевдочастота практически совпадает с круговой частотой в области, где выполняется условие:

T₀<2T_min, ()

где T_min – минимальная постоянная времени элементов разомкнутой системы.

Так как минимальная постоянная времени, соответствующая датчика положения равна 0.004 с., выбранный период дискретизации – 0.01, то неравенство () выполняется всегда (0.01<2^.0.004) и во всей области работы системы можно положить .Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) системы называется фазовая частотная характеристика, построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот.

Рисунок - ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

По построенным логарифмическим характеристикам определим запасы устойчивости системы, характеризующие степень удаления её от границы устойчивости:

- по фазе – превышение графика ЛФЧХ над прямой -π на частоте пересечения ЛАЧХ нулевого уровня – величина в децибелах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования системы, для того, чтобы привести её к границе устойчивости. В данном случае запас по фазе равен 68 градусам;

- по амплитуде – превышение графика ЛАЧХ над осью частот на частоте пересечения ЛФЧХ с осью (–π) – угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. В данном случае запас по амплитуде 30 дБ.

Дл удовлетворительной работы системы запас устойчивости по фазе должен составлять 30…40⁰, по амплитуде - - 8..10 дБ. Следовательно, данная САР

сцепления колёс с дорожным покрытием автомобиля устойчива, а найденные величины запасов являются приемлемыми для системы.

5.4 Анализ качества дискретной системы регулирования

1) Прямые оценки качества

Показатели качества дискретных систем наиболее просто определяются по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием.

z-изображение единичного ступенчатого воздействия 1(t):

()

z-изображение передаточной функции дискретной замкнутой системы и z-изображение её переходной функции H(z) связаны между собой соотношением:

, ()

где - выходной сигнал;

- входной сигнал.

Из соотношения () с учётом выражения () получим z-изображение переходной функции системы:

()

Дискретные значения переходного процесса могут быть найдены путём разложения изображения переходной функции в ряд Лорана, которое реализуется простым делением числителя изображения переходной функции на её знаменатель в программе MATLAB

Построим переходную характеристику дискретной замкнутой системы (рисунок ).

Рисунок – Переходная характеристика системы

Прямые оценки качества переходной характеристики:

- время регулирования t_р – это время, в течение которого выходная величина достигает установившегося значения h_уст с заданной точностью Δ. Обычно принимают Δ=(0.010.05)h_уст, т.е. переходный процесс в системе регулирования считают закончившимся, когда переходная функция отличается от своего установившегося значения не более чем на 1 – 5%. Величина t_р характеризует быстродействие СУ: чем меньше время регулирования, тем больше быстродействие системы регулирования.

По графику h_уст=87.1.

Вокруг h_уст выделим область с допуском =5% от h_уст:

=0.05^. h_уст=0.05^.87.1=4.355

Тогда 5-процентный интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующим величинам.

По графику определяем, время регулирования t_р = 3.11 c.

- Перерегулирование (максимальная динамическая ошибка) σ – максимальное отклонение переходной функции от установившегося значения, выраженное процентах. Характеризует запас устойчивости СУ, под которым понимают степень удаления системы от колебательной границы устойчивости. Чем меньше σ, тем больше запас устойчивости, тем дальше удалена система от колебательной границы устойчивости.

Нулевое перерегулирование свидетельствует о большом запасе устойчивости системы от границы колебательности и высоком качестве управления.

2) Косвенные оценки качества

Косвенные оценки качества проводятся по частотным характеристикам. Наиболее часто используется амплитудно-частотная характеристика. (АЧХ) замкнутой системы.

Амплитудно-частотная функция определяется по формуле:

График АЧХ замкнутой системы приведен на рисунке .

Рисунок – АЧХ системы

Косвенные оценки качества:

- показатель колебательности, определяемый по формуле:

,

где A_max – максимум АЧХ;

A(0) – значение амплитуды при нулевой частоте.

В данном случае A_max=A(0)=87.1. Тогда M=1 – переходный процесс протекает без колебаний по апериодическому закону.

- Частота среза – частота, при которой АЧХ достигает значения, равного 1.

Частота среза косвенно характеризует быстродействие системы: чем больше часта среза, тем меньше время регулирования.

λ_ср=20 рад/с

- Резонансная частота – частота, в которой амплитудно-частотная функция достигает своего максимального значения:

λ_р=0

- Полоса пропускания – интервал частот, в котором амплитуда АЧХ превышает уровень 0.707A(0).

0.707A(0)=0.707^.87.1=61.579