5.2 Решение уравнения поверхности магнитожидкостного сенсора

Под действием напора жидкости под определенным давлением происходит смещение магнитной массы, фиксируемое индуктивным датчиком. По диапазону смещения магнитожидкостного сенсора и по деформации оболочки можно судить о расходе измеряемой жидкости. Деформация сенсора происходит не только под действием напора жидкости, но и под действием внешнего электромагнитного поля. Данная деформация дает некоторую погрешность при измерении расхода жидкости.

Исследования проводятся с магнитными жидкостями С2-40М и Т-40. Физические свойства магнитных жидкостей С2-40М и Т- 40 при t = 20⁰С приведены в таблицы 3. В качестве измеряемой жидкости используем трансформаторное, физические свойства которых представлены в таблице 4.

Таблица 4 - Физические свойства трансформаторного масла

Плотность, кг/м3	861
Динамическая вязкость, мПа·с	21,8
Кинематическая вязкость, мм2 /с	25,3

Форма сечения сенсора z = z (x) в этих приближениях задается уравнением :

(78)

где ρ_в – плотность магнитной жидкости, кг/м³;

ρ_н – плотность среды, кг/м³.

Для обезразмеривания координат вводится характерный размер объема МЖ L (x→x/L, y→y/L, z→z/L). При упрощение уравнение принимает вид:

Bg(1+z^{/ 2})^3/2 + Bm (1+z^{/ 2})^1/2 =z^//, (79)

где Bm – магнитное число Бонда;

Bg – гравитационное число Бонда.

Магнитное число Бонда Bm, безразмерный комплекс, представляет собой отношение магнитного скачка давления к давлению сил поверхностного натяжения:

Bm = μ₀ (M_в² –М_н²)L/2σ. (80)

Гравитационное число Бонда Bg, безразмерный комплекс, представляющий собой отношение скачка давления и плотности жидкости к давлению сил поверхностного натяжения:

Bg = (р_в – р_н))L/σ. (81)

Изложенный подход, основанный на балансе сил, рассмотрим для трехмерного случая. Учитывая постоянство объема магнитожидкостного сенсора, получим уравнение для определения относительного смещения сенсора:

. (82)

Смещение по оси z:

, (83)

где ψ – угол смещения сенсора.

.

Проведем численное моделирование деформации магнитожидкостного сенсора с помощью программы Mathcad Professional. В качестве магнитной жидкости используется С2-40М, Т-40, рабочая среда - трансформаторное масло.

Смещение по оси x, найдем через R_a радиус кривизны в точке а:

Проведем аналогичные вычисления для разных типов магнитных жидкостей. Результаты вычислений занесем в таблицу 5.

Таблица 5 – Результаты численного моделирования деформации

магнитожидкостного сенсора

Тип МЖ	Магнитное число Бонда, Bm·10-3	Гравитационное число Бонда, Bg·104	Смещение по оси z·10-4, мм	Смещение по оси x·10-5, мм
С2-40М	7.83	1.77	1,13	7,99
Т-40	11.2	1.65	1,21	8,56

Зависимость характеристики удлинения поперечного сечения магнитожидкостного сенсора δ от безразмерного магнитного числа Бонда Bm для разных типов жидкостей представим на рисунке 11.

Рисунок 11 - Зависимость характеристики удлинения поперечного

сечения магнитожидкостного сенсора δ от безразмерного

магнитного числа Бонда Bm при гравитационных числах

Бонда Bg1= 0, Bg2 = 1.65·10⁴, Bg3 = 1.77·10⁴

Для построения зависимости удлинения поперечного сечения сенсора от напряженности магнитного поля (рисунок 12), воспользуемся следующим уравнением:

,

где μ₀ – магнитная постоянная, Гн/м;

μ_в – магнитная проницаемость МЖ;

μ_н – магнитная проницаемость среды.

R₀ - радиус сечения постоянной площади А в отсутствия поля, м.

Магнитную проницаемость среды примем μ_н = 1. Магнитная проницаемость магнитных жидкостей типа С2-40М, Т-40 в основе которой содержится магнетит примем μ_в = 70.

Радиус сечения постоянной площади А в отсутствии поля R₀, для магнитной жидкости С2-40М и Т-40:

Н, кА/м

δ

3.1

3

2.5

δ 2

1.5

1

0.5

0

Рисунок 12 – Зависимость напряженности магнитного поля Н от

удлинения поперечного сечения МЖС δ

Отличительной особенностью приведенной зависимости является ее неоднозначный характер при достаточно большом значении магнитной проницаемости магнитных жидкостей типа С2-40М, Т-40 в основе которой содержится магнетит, примем μ_в = 70. В эксперименте эта неоднозначность проявляется как скачкообразное удлинение капля при превышении критического значения напряженности магнитного поля и гистерезисное явление (имеется ограниченная область значений напряженностей магнитного поля, где существуют две равновесные конфигурации капли, одна из которых реализуется при увеличении, а другая при уменьшении напряженности магнитного поля).

Физическая причина этого явления заключается в следующим: капля удлиняется вдоль поля вследствие действия магнитных растягивающих напряжений, пропорциональных квадрату намагниченности, которая, в свою очередь, зависит от степени растяжения капли через размагничивающий фактор. Его уменьшение при растяжении капли сопровождается увеличением растягивающих магнитных напряжений, которые, если магнитная проницаемость жидкости достаточна высока, не могут быть уравновешены силами поверхностного натяжения, и при некотором критическом значении напряженности поля степень растяжения сенсора скачкообразно возрастает.