4 Вывод математической модели

4.1 Влияние однородного магнитного поля на магнитную жидкость

Магнитожидкосный сенсор представляет собой заключенную в эластичную резиновую оболочку магнитную жидкость (рисунок 8). Магнитная жидкость оказывается очень чувствительной к внешнему магнитному полю и легко управляется с его помощью. Основными факторами, определяющими форму капель магнитной жидкости, являются силы поверхностного натяжения, магнитная сила и сила тяжести. При теоретическом изучении этого вопроса широко используется предположение о том, что в определенных диапазонах, параметры капли имеют форму эллипсоидов вращения.

Рассмотрим каплю магнитной жидкости, лежащую на горизонтальной плоской поверхности и ограниченную эластичной поверхностью. Магнитная жидкость характеризуется плотностью ρ, намагниченностью М, коэффициентом поверхностного натяжения σ. Капля объемом V помещена в однородное магнитное поле, направленное параллельно вектору силы тяжести g. В данной ситуации капля магнитной жидкости имеет осесимметричную форму тела вращения с осью симметрии вдоль поля. Предполагается, что ее форма является полуэллипсоидом, имеющим высоту а и диаметр у основания 2b. Угол смачивания жидкостью материала подложки равен 90⁰.

Рассмотрим форму капли магнитной жидкости на плоской поверхности с учетом силы тяжести. Давление p_b около боковой поверхности капли у ее основания отличается от давления p_a в вершине капли:

p_b = p_a + ρgа, (39)

где p_b - давление у боковой поверхности МЖ капли, Па;

p_a – давление в вершине капли , Па;

ρ – плотность МЖ, кг/м³;

g – вектор силы тяжести, м/с².

h₁ - высота МЖС; h₂ – высота катушки индуктивности; d₁ – диаметр МЖС; d₂ – внешний диаметр катушки индуктивности; d₃ – диаметр трубопровода

Рисунок 8 – Полуограниченная капля магнитной жидкости в однородном магнитном поле

Учитывая силы поверхностного натяжения и магнитный скачок давления, p_b и p_a можно определить из выражений:

, (40)

, (41)

где р₀ – давление в среде окружающей каплю, Па;

R₁^a, R₁^a, R₁^b, R₂^b – главные радиусы кривизны поверхности капли в точках a и b соответственно, м;

σ – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

М – намагниченность магнитной жидкости, А/м.

Используя предположение, что капля имеет форму полуэллипсоида, можно выразить главные радиусы кривизны через величины полуосей a и b:

R₁^a = R₁^a=b²/a

R₁^b =a²/b

R₂^b = b

В качестве характерного размера выбирается радиус полушара объема V, равному объему капли:

R₀ = (3V/2π)^1/3, (42)

где V – объем МЖ капли, м³

После подстановки выражений (40), (41) в (39) получаем систему уравнений для определения относительной высоты α = а/R₀ и радиуса основания β = b/R₀:

, (43)

(44)

где Bm – магнитное число Бонда;

Bg – гравитационное число Бонда.

Магнитное число Бонда, представляет собой отношение магнитного скачка давления к давлению сил поверхностного натяжения, характеризует роль магнитного поля в образовании формы капли:

Bm = 2μ₀ M² R₀ /σ (45) Гравитационное число Бонда, представляет собой отношение гравитационной составляющей к коэффициенту поверхностного натяжения:

Bg = ρgR₀²/σ (46)

Выразив из (44) β и подставив в (43), можно получить следующее полиномиальное уравнение:

β = 1/ (47)

(48)

Из анализа уравнения (48) следует, что форма капли определяется как величиной безразмерных комплексов Bm и Bg, так и их соотношением. При компенсации силы тяжести магнитными силами, что соответствует соотношению комплексов Bg = Bm/4, капля имеет форму полушара, поскольку α = β =1. Если преобладают магнитные силы Bg < Bm/4, то капля представляет собой вытянутый вдоль поля полуэллипсоид вращения с полуосями α >1, 0< β <1. В обратной ситуации Bg > Bm/4, капля принимает форму сплюснутого полуэллипсоида вращения: 0< α <1, β>1.

3.2 Удлинение сечения магнитожидкостного сенсора в однородном магнитном поле

Магнитожидкостный сенсор представляет собой магнитную жидкость, заключенную в тонкостенную эластичную оболочку.

Найдем равновесную форму сечения цилиндрического столба постоянной площади А во внешнем однородном магнитном поле, поперечном образующей струи (рисунок 9). Форма капли МЖ во внешнем однородном магнитном поле при небольших удлинениях (менее 3 ÷ 5 мм) близка к эллипсоиду вращения, внутри которого устанавливается однородное поле. Внутри эллиптического цилиндра в поперечном однородном поле устанавливается однородное поле, параллельное внешнему, что позволяет сформулировать гипотезу: сенсор в поперечном поле принимает форму сечения, близкую к эллипсу, и поле внутри сенсора однородно.

Условие Лапласа для перепада давлений на поверхности раздела МЖ имеет вид :

, (49)

где р_в – давление магнитной жидкости, Па;

р_н – давление среды, Па;

σ – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

М_В – намагниченность магнитной жидкости, А/м;

М_н – намагниченность среды, А/м;

μ₀ – магнитная постоянная, Гн/м;

k₁, k₂ – кривизны главных нормальных сечений.

Уравнение движения МЖ сводится к следующему уравнению:

, i = н,в, (50)

где ρ_i – плотность i-й жидкости, кг/м³;

р_{i –} давление i-й жидкости, кг/м³.

р_i = р_i(z)

р_i⁰ = р_i (0)

Рисунок 9 – Магнитожидкостный сенсор под действием внешних сил

Форма сечения струи z = z (x) в этих приближениях задается уравнением :

(51)

где ρ_в – плотность магнитной жидкости, кг/м³;

ρ_н – плотность среды, кг/м³.

Для обезразмеривания координат вводится характерный размер объема МЖ L (x→x/L, y→y/L, z→z/L). При упрощении, уравнение принимает вид :

Bg(1+z^{/ 2})^3/2 + Bm (1+z^{/ 2})^1/2 =z^//, (52)

где Bm – магнитное число Бонда;

Bg – гравитационное число Бонда.

Магнитное число Бонда Bm, безразмерный комплекс, представляет собой отношение магнитного скачка давления к давлению сил поверхностного натяжения:

Bm = μ₀ (M_в² –М_н²)L/2σ (53)

Гравитационное число Бонда Bg, безразмерный комплекс, представляющий собой отношение скачка давления и плотности жидкости к давлению сил поверхностного натяжения:

Bg = (р_в – р_н))L/σ (54)

Применяя подстановку z^// = (dz^/ / dz)z^/ и производя интегрирование существенно нелинейного уравнения (41), получаем:

(55)

(56)

Баланс сил в точках пересечения контура эллипса сечения сенсора с его осями выражается системой:

F_в –F_н = F_σа –F_м, (57)

F_в –F_н = F_σb, (58)

где F_н – сила наружного статического давления, Па;

F_в – сила внутреннего статического давления, Па;

F_σа , F_σb – результирующая сила поверхностного натяжения, Па;

F_м – сила, вызванная скачком магнитного давления, Па.

Перейдя в (57) и (58) от сил к давлениям, получим:

1/R_b=Bg. (59)

1/R_a=Bm+Bg, (60)

где R_a, R_b – радиусы кривизны в точках a и b, м.

Приняв далее кривую эллипсом (что возможно до удлинения 5 мм), R_a и R_b можно записать в следующем виде:

R_a = x²/z. (61)

R_b = z²/x. (62)

С учетом (61) и (62) имеем:

(63)

(64)

Затем (52) и (53) подставляются в (55) и (56):

(65)

(66)

Считая площадь сечения постоянной, можем записать:

z x = A/π = R₀², (67)

где R₀ – радиус сечения постоянной площади А в отсутствии поля, м.

Полагая в уравнении (52) L = R₀, из (66) и (67) получаем выражение удлинения для плоской задачи, которое соответствует удлинению сечения струи МЖ в постоянном магнитном поле:

, (68)

где δ – удлинение сечения струи МЖ.

Уравнение (68) можно решить непосредственным методом. Данный подход изложенный на балансе сил, продолжим на трехмерном случаи осесиметричной капли. Преобразования, аналогичные изложенным, с учетом того, что R_b = x = z; R_a=x²/z; р_в-р_н=α (1/R₁+1/R₂), и что R_m=z²/x – радиус кривизны меридиана в точке пересечения с экватором, дадут следующие выражения:

Bg=(1/x+x/z²)

x²/z=2/(Bg+Bm).

Учитывая постоянство объема, получим:

. (69)

, (70)

где

Для определения D представим следующее выражение:

(71)

Так как поле внутри струи однородно и токи отсутствуют, для определения намагниченности внутри и снаружи можем воспользоваться уравнением Лапласа:

(72)

где φ – скалярный потенциал;

σ,τ – параметры эллиптических координат.

Зададим граничные условия: φ_н= φ_В, , σ=σ₀ , где σ₀ – значение параметра σ на поверхности струи.

Найдя методом разделения переменных потенциалы внутри и снаружи струи, получим выражения для Н=-φ в окрестности точки а:

, (73)

, (74)

μ₀ – магнитная постоянная, Гн/м;

μ_в – магнитная проницаемость МЖ;

μ_н – магнитная проницаемость среды.

Выражения (73) и (74) вместе с позволяют найти Bm, из (52), что в конечном итоге вместе с (69) дает следующее выражение:

. (75)