2.2 Классификация методов расчета электромагнитных полей

Методы расчета электромагнитных полей можно разделить на аналитические и графические.

Группу аналитических методов составляют способы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током) и уравнения Лапласа (для областей, не занятых током), методы зеркальных и конформных отображений.

Некоторые задачи, например, о магнитных полях прямого проводника и коаксиального кабеля, решаются посредством закона полного тока в интегральной форме (первое уравнение Максвелла), являющегося аналогией теоремы Гаусса.

Поскольку скалярный потенциал магнитного поля подчиняется уравнению Лапласа, а векторный потенциал – уравнениям Лапласа и Пуассона, большинство методов электростатических полей распространяются и на магнитные поля.

В тех случаях, когда расчет поля аналитическими методами вызывает затруднения, прибегают к графическому методу построения картины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графические методы построения картины поля применимы к двухмерным безвихревым полям.

Применяют также метод интегральных уравнений, предполагающий использование ЭВМ и значительно расширяющий круг решаемых задач.

2.2.1. У р а в н е н и е Л а п л а с а и П у а с с о н а д л я

в е к т о р н о г о п о т е н ц и а л а. Интеграл вектора магнитной индукции по некоторой поверхности называется магнитным потоком через эту поверхность:

, (20)

где Ф – магнитный поток, проходящий через поверхность s, Вб.

Применив теорему Остроградского-Стокса получим:

(21)

Общее выражение для векторного потенциала имеет вид:

, (22)

где r – текущий радиус точки, в которой плотность тока равна δ, мм;

l – длина контура токов I, мм;

μ_а – абсолютная магнитная проницаемость среды, Гн/м.

Поскольку поле вектора носит вихревой или смешанный характер, оно имеет векторный потенциал А, определяемый соотношением:

[А]=В, (23)

где А – векторный потенциал, Тл/м.

Сравнивая (21) и (22), получаем выражение для векторного потенциала:

(24)

Подынтегральное выражение однотипно с фундаментальным решением уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве. Следовательно, при соответствующей замене букв выражение (11) можно считать одним из решений дифференциального уравнения Пуассона или Лапласа:

(24)

(25)

Векторный потенциал магнитного поля подчиняется уравнениям Пуассона и Лапласа.

2.2.2. М е т о д з е р к а л ь н ы х и з о б р а ж е н и й. Пусть около бесконечной плоскости ограничивающей ферромагнитную среду, для которой примем μ=∞, расположен в воздухе параллельно плоскости провод с током i. Поверхность ферромагнитной среды является поверхностью равного магнитного потенциала, так как линии напряженности поля в воздухе к ней перпендикулярны.

Удалим мысленно ферромагнитную среду, заменив ее током i', являющимся зеркальным изображением в поверхности раздела действительного тока i. Ток i' примем равным току i и имеющим тоже направление (рисунок 3).

Средняя плоскость между действительным током и его зеркальным изображением является плоскостью равного магнитного потенциала. Это вытекает из того что линии магнитной индукции, охватывающие оба тока, должны расположиться симметрично относительно этой плоскости, что возможно только, если они ее пересекают под прямым углом.

После замены ферромагнитной среды током i' условия на граничной плоскости не изменились. Остался без изменения и ток i в области действительного поля. Следовательно, поле прямолинейного тока i, проходящего в воздухе параллельно плоской поверхности массивного тела из ферромагнитного материала, совпадает в воздухе с полем которое образуется двумя токами - действительным током i и его зеркальным изображением i'= i в поверхности тела в предположении, что ферромагнитная среда удалена.

Рисунок 3 – Поле токов вблизи плоских поверхностей

Основанный на этом положении метод расчета поля называется методом зеркальных изображений. Этот метод найти решения некоторых задач в тех случаях, когда границами поля являются плоские или цилиндрические поверхности. С его помощью можно получить готовые результаты избегая непосредственного решения уравнений Лапласа и Пуассона.

Сущность метода заключается в замене влияния границы на приложенное поле простой системой токов или зарядов, расположенной позади граничной поверхности, результирующее поле. Для поля в областях по разные стороны границы требуются различные системы отображений, однако если известна одна из них, то нетрудно найти и другую, поскольку решения для двух областей поля связаны граничными условиями.

При изложении теории расположение отображений и их величины определены для случаев одной плоской и одной цилиндрической граничных поверхностей на более простом примере электрического поля линейного заряда. Он заключается в том, что вначале находится поверхностное распределение зарядов (или поляризация), характеризующее влияние границы, которое затем заменяется простой эквивалентной системой (или отображениями).

2.2.3. М е т о д к о н ф о р м н ы х п р е о б р а з о в а н и й. Двухмерные электрические и магнитные поля, подчиняющиеся уравнению Лапласа, могут быть исследованы посредством так называемых конформных преобразований, являющихся практическим применением теории функции комплексного переменного.

Конформное преобразование сводится к замене действительного поля, которое в силу сложности очертания его границ не поддается непосредственному расчету, другим полем, каждый бесконечно малый элемент площади которого подобен соответствующему ему бесконечно малому элементу заменяемого поля, но очертание границ имеет простую форму, для которой расчетные уравнения известны.

Конформное преобразование является более действенным методом аналитического определения лапласовских полей, позволяющим учесть влияние границ гораздо более сложной конфигурации, чем другие аналитические методы. Кроме того, в общем случае решения имеют очень простой вид и дают возможность получить выражения для магнитной индукции и проводимости для магнитных полей (или градиента потенциала и емкости для электростатических полей), а также позволяют во многих случаях рассчитать картину поля. Главное ограничение при использовании метода конформных преобразований состоит в том, что в большинстве задач границы поля должны быть приняты или имеющими бесконечно большую магнитную проницаемость (или бесконечно большую электрическую проводимость), или совпадающими с линиями потока, или представлять собой комбинацию этих двух типов границ.

2.2.4. Г р а ф и ч е с к и й м е т о д р а с ч е т а. В сложных случаях аналитический метод расчета поля оказывается невозможными приходится прибегать к приближенным графическим методам построения картины используется при построении картины поля около стальных полюсов электрических машин и аппаратов. Линии магнитной индукции в воздухе около полюсов нормальны к их поверхностям, и, следовательно, поверхности полюсов можно считать поверхностями равного магнитного потенциала. Такое условие верно в том случае, когда поле создается токами, проходящими по проводникам и обмоткам, расположенным в воздухе, что обычно и имеет место. Рассмотрим метод построения картины поля в области, не занятой проводниками с токами, создающими исследуемое поле, возле тех частей полюсов, которые выступают за пределы обмоток с током, наложенных на сердечники полюсов. Если, помимо того, в данной области пространства роле приближенно можно считать плоскопараллельным, то следует руководствоваться следующими правилами:

• линии напряженности поля и линии равного магнитного потенциала должны пересекаться по всюду под прямым углом;

• поверхности ферромагнитных сред следует считать поверхностями равного магнитного потенциала и линии напряженности поля в воздухе следует проводить перпендикулярно к ним;

• ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и линиями равного потенциала, при достаточной густоте сетки должны быть приблизительно подобны друг другу.

Для построения приближенной картины поля в тех местах, где около сердечника полюса расположены катушки с током, поступают следующим образом. Сжимают сечение катушки в направлении к поверхности сердечника до нулевых размеров. Предполагают, что ток течет по бесконечно тонкому слою, прилегающему к поверхности сердечника. При таком предположении во всем пространстве около полюса токов нет, и может быть использовано понятие скалярного магнитного потенциала. При этом поле всюду должно удовлетворять первому и третьему условиям. Второе условие сохраняется только там, где на поверхности ферромагнитной среды нет токов. В местах, где имеются распределенные поверхностные токи, соответствующие токам в катушках, это условие не соблюдается .

Основным методом расчета электромагнитного поля (рисунок 4) выбрано уравнение Лапласа, которое дает возможность получить общее решение, позволяющее составить представление о влиянии различных параметров электромагнитного поля.

Методы расчета

электромагнитных полей

Аналитические

Графический

метод

Уравнение

Пуассона

Уравнение

Лапласа

Метод конформных отображений

Метод зеркальных отображений

Рисунок 4 – Классификация методов расчета электромагнитных полей

3 ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ НА

МАГНИТОЖИДКОСТНЫЙ СЕНСОР

При измерении расхода рабочей жидкости посредством ГЭПР на магнитожидкостный сенсор воздействует поток жидкости. От характера воздействия, то есть распределения сил по поверхности магнитожидкостного сенсора, зависят многие факторы, влияющие на качество работы устройств с магнитожидкостным сенсором: долговечность оболочки магнитожидкостного сенсора; чувствительность магнитожидкостного сенсора к изменению скорости потока; сопротивление магнитожидкостного сенсора потоку жидкости при регулировании расхода.

Так как магнитожидкостный сенсор находится под действием внешней нагрузки, которой является давление исследуемой среды, и внутренней нагрузки – давлением магнитной жидкости, то необходимо определить обе нагрузки.

Давление магнитной жидкости на стенки сенсора представляет собой осесимметричное нагружение. На рисунке 5 представлена оболочка и действующие на нее давления.

а) б)

а) осесимметричное нагружение оболочки

б) внешняя нагрузка на оболочку

Рисунок 5 – Действие сил на оболочку

Гидростатическая нагрузка определяется формулой:

(26)

где _. – удельный вес магнитной жидкости, Н/м³;

– длина магнитожидкостного сенсора, м.

(27)

где m – масса магнитной жидкости, кг;

g – ускорение свободного падения, м/с²;

V – объем магнитной жидкости, м³;

r - плотность магнитной жидкости, кг/м³.

При осесимметричном нагружении оболочки все усилия, действующие на нее, будут постоянны по окружности.

Будем считать, что движение внешней среды – вязкой несжимаемой жидкости (трансформаторногоного масла) является ламинарным, то есть безвихревым. В этом случае давление масла на стенку сенсора будет равномерным.

Действие внешней нагрузки на оболочку представлено на рисунке .

Найдем внешнюю нагрузку на оболочку из уравнения Бернулли для вязкой несжимаемой жидкости:

(28)

_{где h1 = h2 = const – высота проточной части.}

_{Тогда уравнение (28) перепишем :}

(29)

_{где hw – потери напора на трение.}

где d = 110^-2 м – диаметр проточной части,

 = 25,310^-6 м²/с - кинематическая вязкость трансформаторного масла при температуре t =20С,

l = 12510^-3 м – длина проточной части,

g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения,

V - скорость потока после прохода через местное сопротивление, м/с.

После подстановки числовых значений, получим зависимость потери напора от скорости потока

_{Теперь уравнение (29) можно переписать в виде:}

(30)

_{Отсюда можно найти распределение давления на оболочку:}

(31)

_{Скорость на поверхности МЖ сенсора при его обтекании изменяется по синусоиде, достигая своего максимального значения θ =   / 2 при θ =0 и θ = ; скорости жидкости в этих точках равны нулю.}

(32)

Таким образом, V = V_θ. Тогда формула (32) преобразуется:

(33)

_{Учитывая выражение (33), получим:}

_{Здесь V∞ = w – распределение скоростей, определенное по формуле:}

(34)

где - максимальная по сечению скорость.

_Тогда

₍₃₅₎

Имея распределение скоростей по поверхности МЖ сенсора и используя уравнение Бернулли, получим распределение давлений на поверхности сенсора

(36)

_{Так как магнитожидкостный сенсор находится под действием внешней нагрузки, которой является давление исследуемой среды, и внутренней нагрузки – давлением магнитной жидкости, то произведем расчет на обе эти нагрузки.}

Внутреннее давление на стенки оболочки оказывает магнитная жидкость, которая представляет собой коллоидный раствор, полученный путем рассеяния в жидкости твердых ферромагнитных микрочастиц. Внешнее давление на стенки сенсора оказывает измеряемая среда – масло. Под действием этих нагрузок незакрепленный край оболочки смещается. В результате смещения магнитной массы возникает переменное магнитное поле, которое охватывает катушки индуктивности. Изменение формы МЖ сенсора фиксирует прибор, шкала которого проградуирована в единицах расхода.

Исходные данные для проточной части:

R = 510^-3 м – радиус проточной части

m = 21,810^-3 кг/(мс)- динамическая вязкость трансформаторного масла при температуре t =20 С

g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения

L = 12510^-3 м – длина проточной части

r = 861 кг/м³ – плотность трансформаторного масла.

Исходные данные для МЖ сенсора:

Е = 7,85×10⁶ Н/м² - модуль продольной упругости ;

υ = 0,47 – коэффициент Пуассона ;

R = 2,5×10^-3 м – радиус оболочки;

L = 7∙10^-3 м – длина оболочки;

 = 54510^-3 кг/(мс)- динамическая вязкость магнитной жидкости С2-40м при температуре t =20 С

r = 1410 кг/м³ – плотность магнитной жидкости С2-40м;

h = 0,01 мм = 10^-5 м – толщина оболочки;

Расчет ГЭПР сводится к расчету координат смещения МЖ сенсора, который проводился по безмоментной теории с учетом краевого эффекта.

Для нахождения u, v, w перемещение срединной поверхности оболочки при данной нагрузке зависит от геометрических параметров оболочки, от угла , от давления и скорости жидкости.

Перемещение срединной поверхности оболочки найдем по формуле :

_{Тогда можно вывести выражения для проекций вектора перемещения срединной поверхности оболочки:}

_{Так как нагрузка симметрична, то v=0.}

_{Прогиб w прямо пропорционален расстоянию (L – x) от верхнего края оболочки. Это значит, что стенка при деформации остается прямолинейной. Радиус оболочки (расстояние по нормали от оси вращения до срединной поверхности) увеличивается от R до (R + w). Так как прогиб w принимается малым (исходя из условий), то изменением кривизны χ2 (кривизна параллельного круга) можно по малости пренебречь. Это означает, что в оболочке изгибающие моменты и поперечные силы не возникают.}

Для получения количественных характеристик процесса изменения положения центра МЖ сенсора, полученные расчетные соотношения были обработаны. Для того, чтобы найти общее воздействие давления магнитной жидкости и давления масла будем рассматривать только максимальные значения давления масла на сенсор при значениях давления масла 300 Па и 400 Па, то есть при угле  = 90. Сведем полученные значения в таблицы 1,2 и построим по ним график зависимости смещения срединной поверхности от скорости потока при суммарной нагрузке, представленные на рисунках 7, 8.

Таблица 1 - Результаты вычислений перемещения срединной поверхности сенсора при суммарной нагрузке для р=300 Па

θ	x, м	u, м	v, м	w, м	T, м	V, м/с
90°	0	-2,310-8	-1,5·10-5	-0,69·10-3	0,69·10-3	0
90°	0,001	-1,910-7	-0,83·10-5	-0,85·10-3	0,85·10-3	0,518
90°	0,002	-3,610-7	0,25·10-6	-1,3·10-3	1,3·10-3	0,921
90°	0,003	-5,110-7	-0,21·10-6	-1,8·10-3	1,8·10-3	1,21
90°	0,004	-6,410-7	-0,261·10-6	-2,24·10-3	2,24·10-3	1,382
90°	0,005	-7,510-7	-0,34·10-6	-2,81·10-3	2,81·10-3	1,44
90°	0,006	-8,410-7	-0,44·10-6	-3,11·10-3	3,11·10-3	1,442
90°	0,007	-9,110-7	-0,56·10-6	-3,82·10-3	3,82·10-3	1,501

Рисунок 7 – График зависимости смещения магнитожидкостного сенсора

от скорости потока

Таблица 2 - Результаты вычислений перемещения срединной поверхности сенсора при суммарной нагрузке для р=400 Па

θ	x, м	u, м	v, м	w, м	T, м	V, м/с
90°	0	-2,310-8	-2,1·10-5	-0,74·10-3	0,74·10-3	0
90°	0,001	-1,910-7	-1,1·10-5	-0,92·10-3	0,92·10-3	0,531
90°	0,002	-3,610-7	-0,36·10-6	-1,35·10-3	1,35·10-3	0,984
90°	0,003	-5,110-7	-0,3·10-6	-1,83·10-3	1,83·10-3	1,27
90°	0,004	-6,410-7	-0,37·10-6	-2,31·10-3	2,31·10-3	1,394
90°	0,005	-7,510-7	-0,49·10-6	-2,98·10-3	2,98·10-3	1,464
90°	0,006	-8,410-7	-0,63·10-6	-3,35·10-3	3,35·10-3	1,482
90°	0,007	-9,110-7	-0,8·10-6	-4,07·10-3	4,07·10-3	1,514

Рисунок 22 – График зависимости смещения магнитожидкостного сенсора от скорости потока

Как видно из таблиц 1, 2 максимальное смещение оболочки при внешней нагрузке р = 300 Па составляет Т = 3,82 мм, а при внешней нагрузке р = 400 Па составляет Т = 4,07 мм при угле θ = 90⁰ и х = 0,007м.