3. Классификация математических схем

Для перехода от содержательного описания к функциональному описанию работы системы с учетом внешнего воздействия используются математическиея схемы

Можно выделить следующие типовые схемы:

1. Аналитические

2. Конечные автоматы

3. Вероятностные автоматы

4. Система массового обслуживания

5. Агрегативные системы

В зависимости от использования схем различают следующие подходы к построению модели:

1. Непрерывно-детерминированный (используют аналитические схемы)

2. Дискретно-детерминированный (конечные автоматы)

3. Дискретно-стохастический (вероятностные автоматы)

4. Непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания)

5. Обобщенный или универсальный (агрегативные системы)

При непрерывно-детерминированном подходе в качестве модели используются обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения. В этих моделях в качестве независимой переменной, от которой зависит искомая функция, рассматривают время.

Построение математических схем при дискретно - детерминированном подходе основано на использовании автоматов. Автомат – устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные сигналы, которое может иметь некоторые внутренние состояния.

Построение математических схем при дискретно - стохастическом подходе основано на использовании вероятностных автоматов (Р-автоматов). Вероятностным автоматом называется дискретный потактовый преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти и описывается статистически.

Построение математических схем при непрерывно - стохастическом подходе основано на использовании систем массового обслуживания. Система массового обслуживания – класс математических схем для формализации процесса функционирования систем, которые по сути являются процессами обслуживания.

Обобщенный подход описывает поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем, то есть является обобщенным (универсальным) и основан на понятии агрегативной системы (англ. Aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которая называется А-схемой.

Рассмотрим подробнее непрерывно-детерминированный подход. Дифференциальные модели являются математической основой методов системной динамики. Модели системной динамики получили широкое распростра­нение в задачах исследования сложных систем из сферы произ­водства и экономики, торговли и городского хозяйства, из области социальных проблем, проблем экологии и охраны окружающей среды. Эти модели были первыми машинными мо­делями, положившими начало новому направлению в системных исследованиях — так называемому глобальному моделированию, охватывающему проблемы мирового развития. Методы по­строения и техника проведения вычислительных экспериментов с моделями системной динамики оказали большое влияние на фор­мирование технологии моделирования.

Математической основой методов системной динамики являются дифференциальные модели, в которых используются представле­ния динамических процессов в пространстве состояний. Модели такого вида — это системы дифференциальных уравнений:

(*)

где х = (x₁, ..., x_m)^T — вектор состояний; х₁, ..., x_m — перемен­ные состояния; u = (u₁, ..., u_p)^T — вектор входов; t — символ вре­мени (в дальнейшем для краткости t опускается).

Дифференциальные модели, применяемые в математической теории систем, включают кроме уравнений (*), называемых уравнениями состояния, еще и уравнение

y = Н (х,u),

в котором переменная у = (y₁, .... y_q)^T —вектор выходов моде­лируемых процессов.

При составлении дифференциальных моделей производится вы­бор переменных состояния и устанавливаются связи между этими переменными в виде функций правых частей уравнений состояния. Процессы отбора, анализа и формализации различных фактов и предположений экспертов об изучаемой проблеме в значительной степени обусловлены структурой, которой наделяются искомые функциональные зависимости. Как правило, сформулировать та­кие зависимости только с использованием переменных состояния бывает очень трудно. Более продуктивным оказывается подход, основанный на детальном описании цепочек причинно-следственных связей между факто­рами, отображаемыми в модели с помощью переменных состояния. Разработка и фор­мальная запись таких цепочек невозможны без включения в модель некоторых допол­нительных переменных, специально предназначенных для явного определения в модели структуры причинно-следственных взаимо­связей между переменными состояния. Желательно, чтобы необ­ходимое расширение набора переменных состояния дифферен­циальных моделей совокупностью дополнительных переменных осуществлялось стандартным «технологичным» способом, обеспе­чивающим эффективное выполнение процессов структуризации информации о проблеме.