ГУРВИЦА
Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет п строк и п столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа «элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая — из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме яу>
Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.
ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику, оценим запасы устойчивости.
Запас по амплитуде составляет 10.5 децибел.
Запас по фазе составляет 38.20
АЧХ И КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
Рисунок 8 - АЧХ САУ тягового привода
По АЧХ определяются косвенные оценки качества САУ тягового привода:
- максимальная амплитуда АMAX 0.571;
;
где
- значение амплитуды при нулевой частоте;
- показатель колебательности
1.
Величина
определяет полосу пропускания сигнала
в соответствии с рисунком 8;
- полоса пропускания сигнала
,
Гц 0 ... 506.
Частота среза определяется по амплитуде сигнала
;
- частота среза
,
Гц 132.
По значению
можно ориентировочно определить время
регулирования
,
с:
Данный расчет подтверждает правильность определения времени регулирования
РАУССА
Устойчивость системы по критерию Раусса:
Таблица Раусса
Так как коэффициенты Раусса первого столбца таблицы положительны, то замкнутая система устойчива.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
Построим фазовый портрет
По оси Х – реальная часть
Устойчива если – стремится к 0 по часовой стрелке
Неустойчива – по часовой от нуля
Автоколебания если есть – линии замкнутые будут
Если точки на портрете – это точки переключения (нелинейность)
ПРЯМЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
Выражение для переходной функции будет иметь вид:
График переходной функции процесса представлен на рисунке 2.
По этому графику можно оценить качество системы с помощью прямых оценок качества.
Время регулирования – это время регулирования системы, определяется как интервал времени от момента приложения какого-либо воздействия на систему до времени вхождения системы в 5% трубку tp=0.061
Перерегулирование – величина
динамической ошибки. Для нормального
функционирования системы должна
равняться 20-40%.
Время нарастания – время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения tH=0.024
Время 1-го согласования – время, за которое регулируемая величина первый раз достигнет своего установившегося значения tS=0.012
Число колебаний – число колебаний системы от момента воздействия на нее до перехода в установившееся состояние n=1
ЛАЧХ АПРКСИМАЦИЯ
По данному графику ЛАЧХ надо найти передаточную функцию
0
дб/дек 20lgK
±20 дб/дек (Tp+1); р
±40 дб/дек (Tp+1)2 р2
±60 дб/дек (Tp+1)3 р3
Графические критерии устойчивости ЛСУ.
Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.
Критерии устойчивости САР по Найквисту.
Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от -Ґ до +Ґ годограф разомкнутой системы W(jw) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jw).
Годограф Найквиста является лишь альтернативной формой графического представления частотных свойств системы и строится на основе уже приведенной выше формулы частотной передаточной функции.
Критерии устойчивости САР по Михайлову
Рассмотрим отдельно левую часть
характеристического уравнения, которая
представляет собой характеристический
полином.
Подставим в этот полином чисто мнимое
значение р =jw,
где w
представляет собой угловую частоту
колебаний, соответствующих чисто мнимому
корню характеристического уравнения.
При этом получим характеристический
комплекс.
D-разбиение
Применение метода D-разбиения позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы с помощью характеристического уравнения (4.13a) на плоскости, выделяя один или два параметра. B качестве таких параметров могут быть приняты передаточные коэффициенты ki или постоянные времени передаточных функций Ti (i = 1, 2, …).
ПОСТРОЕНИЕ ЖЛАЧХ
1. Номограммы Солодовникова
Примем величину перерегулирования
переходного процесса равной σ=30%, а время
регулирования системы
с
По номограммам Солодовникова определим частоту среза:
Найденное значение ωс наносим на шкалу частот. Через полученную точку проводим асимптоту ЖЛАЧХ с наклоном –20 дБ/дек.
Низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ оставляем без изменения.
Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ проводим произвольно.
ЖЛАЧХ
ЛАЧХ
2. Метод запретной зоны
Для построения ЖЛАЧХ необходимо найти запретную зону, ниже которой ЖЛАЧХ не может опускаться.
Перерегулирование системы составляет 30%. Время регулирования, удовлетворяющее нашей системе равно 8 с. Колебательность М=1,1. Максимально допустимая ошибка εmax=0,05. Скорость работы системы g' = 20. Ускорение g'' =80
Численное значение частоты контрольной точки определяется по формуле:
λmax= g''/g'=80/20=4 c-1. lg(4)=0.6
Вычисляем амплитуду рабочей точки
Ар=
А=(4,14)
Примем показатель колебательности М = 1.1 , тогда:
Получили точку А=(4; 14).
Через полученную точку проводим прямую с наклоном –20 дБ/дек таким образом, чтобы она пересекала обе оси. Все, что лежит ниже получившейся прямой будет запретной зоной.
ЛАЧХ
ЖЛАЧХ
Определим частоту среза для ЖЛАЧХ по номограмме Солодовникова
Так как wc находится в запретной зоне переносим ее на границу запретной зоны. Через полученную точку проводим асимптоту желаемой ЛАЧХ с наклоном –20дБ/дек.
Низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ оставляем без изменения.
Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ проводим произвольно.
3. Графический способ построения ЖЛАЧХ
Для построения ЖЛАЧХ достаточно провести две параллельные прямые, которые будут ограничивать асимптоту с наклоном –20 дБ/дек.
ЛАЧХ