1. Показатели качества управления, их определение по переходным и ач характеристикам системы

Качество переходных процессов численно характеризуется следующими показателями качества:

Время переходного процесса t_n:

Оно характеризует быстродействие системы и определяется как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины. Обычно в качестве последней берут 5% максимального отклонения в переходный период или 5% от нового установившегося значения.

Максимальное отклонение в переходный период:

В случае переходных процессов, вызванных возмущением, максимальное отклонение определяется величиной x_max1, приходящейся на единицу возмущения f=1(t).

Величина часто называется перерегулированием.

Колебательность переходного процесса:

Эта характеристика переходного процесса обычно определяется числом колебаний, равным числу минимумов кривой переходного процесса в интервале времени t_n, - числом перерегулирований за этот же интервал. Часто колебательность переходного процесса оценивают отношением соседних максимумов x_max2/x_max1. Эта величина так и называется колебательностью и выражается в процентах. Незатухающие колебания при этом соответствуют колебательности 100%. Исчерпывающее представление о качестве переходных процессов дает, естественно, сама кривая процесса x(t). Однако при синтезе систем необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества переходных процессов в системе без построения их кривых, по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто, чем кривая x(t), и, кроме того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров системы. Такие косвенные признаки разработаны и называются критериями качества переходных процессов. Для минимально-фазовых систем качество переходных процессов может быть оценено по одной амплитудной характеристике замкнутой системы А₃. Колебательность определяется по величине относительного максимума характеристики, который поэтому называется показателем колебательности:

При М<1 переходная характеристика системы неколебательна. Чем больше М, тем больше колебательность. При М>∞ колебательность возрастает до получения незатухающих колебаний, соответствующих нахождению системы на границе устойчивости.

Длительность t_n переходной характеристики определяется шириной частотной характеристики А_З(ω). При этом зависимость здесь такая: чем шире частотная характеристика системы, тем короче ее переходная (временная) характеристика, т. е. тем меньше t_n.

В первом приближении длительность переходной характеристики может быть оценена по величине резонансной частоты ω_р. Так как частота колебаний переходной характеристики примерно равна ω_р, время t_max достижения первого максимума переходной характеристикой близко половине периода колебаний этой частоты: .

2. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица заключается в том, что из коэффициентов характеристического уравнения а₀, а₁, а₂…a_n составляется определитель, по главной диагонали которого записываются коэффициенты начиная с а₁ и заканчивая а_n. Недостающие элементы столбца вверх заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз - с уменьшающимися. Если номер индекса i>n или i<0, то на месте такого элемента записывается нуль. Составленный определитель называется главным определителем Гурвица, он имеет порядок совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и т.д. порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установил, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны. Если хотя бы один определитель отрицательный, то система неустойчива.

Для n=1 D(λ)=a₀λ+a₁ и условия устойчивости сводятся к неравенствам: a₀>0; a₁>0. Отсюда, например, звено первого порядка с передаточной функцией является устойчивым, а звено с передаточной функцией неустойчивым.