1. Показатели качества управления, их определение по переходным и ач характеристикам системы

Качество переходных процессов численно характеризуется следующими показателями качества:

Время переходного процесса t_n:

Оно характеризует быстродействие системы и определяется как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины. Обычно в качестве последней берут 5% максимального отклонения в переходный период или 5% от нового установившегося значения.

Максимальное отклонение в переходный период:

В случае переходных процессов, вызванных возмущением, максимальное отклонение определяется величиной x_max1, приходящейся на единицу возмущения f=1(t).

Величина часто называется перерегулированием.

Колебательность переходного процесса:

Эта характеристика переходного процесса обычно определяется числом колебаний, равным числу минимумов кривой переходного процесса в интервале времени t_n, - числом перерегулирований за этот же интервал. Часто колебательность переходного процесса оценивают отношением соседних максимумов x_max2/x_max1. Эта величина так и называется колебательностью и выражается в процентах. Незатухающие колебания при этом соответствуют колебательности 100%. Исчерпывающее представление о качестве переходных процессов дает, естественно, сама кривая процесса x(t). Однако при синтезе систем необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества переходных процессов в системе без построения их кривых, по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто, чем кривая x(t), и, кроме того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров системы. Такие косвенные признаки разработаны и называются критериями качества переходных процессов. Для минимально-фазовых систем качество переходных процессов может быть оценено по одной амплитудной характеристике замкнутой системы А₃. Колебательность определяется по величине относительного максимума характеристики, который поэтому называется показателем колебательности:

.

При М<1 переходная характеристика системы неколебательна. Чем больше М, тем больше колебательность. При М>∞ колебательность возрастает до получения незатухающих колебаний, соответствующих нахождению системы на границе устойчивости.

Длительность t_n переходной характеристики определяется шириной частотной характеристики А_З(ω). При этом зависимость здесь такая: чем шире частотная характеристика системы, тем короче ее переходная (временная) характеристика, т. е. тем меньше t_n.

В первом приближении длительность переходной характеристики может быть оценена по величине резонансной частоты ω_р. Так как частота колебаний переходной характеристики примерно равна ω_р, время t_max достижения первого максимума переходной характеристикой близко половине периода колебаний этой частоты: .

2. Критерий устойчивости Гурвица

Это алгебраический критерий в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

- характеристическое уравнение.

Из характеристического уравнения строят сначала главный определитель Гурвица по правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами D(s) с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами больше n (порядка характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули. Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка: . Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а₀, т.е. при а₀>0 были положительными. Этот критерий применяется для систем первого и второго порядков, для уравнения третьего и четвертого порядков необходимо выполнение дополнительных условий.

При система находится на границе устойчивости.