6.Фазовый портрет нелинейной системы управления. Анализ поведения системы по фазовому портрету.

Для получения достаточно полного представления о характере возможных движений системы без непосредственного интегрирования ее дифференциальных уравнений весьма плодотворным является изучение многообразия фазовых траекторий и особых точек равновесия в фазовом пространстве системы. Уравнение автономной системы второго порядка может быть представлено в виде , где— известная функция выходной переменной и ее производной, в общем случае нелинейная. Полагая приведем уравнение к системе двух уравнений первого порядка:

Фазовыми координатами системы являются ее выходная переменная y и скорость ее изменения Разделив уравнения одно на другое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

. Это уравнение однозначно определяет касательную к фазовой траектории во всех точках, кроме тех, в которых одновременно выполняются равенства В этих точках не существует определенного направления касательной к траектории. Точки такого типа называются особыми. Из этих точек могут исходить многие траектории. Через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория. Особые точки являются точками равновесия системы. Для выяснения поведения системы при малых отклонениях от состояния равновесия

пользуются методом линеаризации уравнений, предполагая, что функция имеет непрерывные первые производные по у и z. Пусть — координаты особой точки, т. е. какое-нибудь решение уравнений. Полагаяи учитывая малость величин

можем написать:

где a, b — постоянные коэффициенты, определяемые формулами а — малая величина высшего порядка по сравнению с

Получим систему линейных уравнений первого приближения: , решая эти уравнения первого приближения, можно определить движение соответствующей линейной системы и ее фазовые траектории вблизи особой точки и оценить устойчивость соответствующего положения равновесия.

Системе уравнений соответствует характеристическое уравнение Корни этого уравнения полностью определяют поведение системы около положения равновесия, а следовательно, и характер особой точки Случай комплексных сопряженных корней Решение уравнений имеет вид колебаний:

где— постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями. При увеличении t на периодобе координаты пропорционально убывают прии возрастают приИзображающая точка стремится к началу координат приеслиИзображающая точка удаляется от начала координат при Так как и так как при увеличении на периодкотангенс, убывая, дважды пробегает все значения от, то радиус-вектор изображающей точки поворачивается за время по часовой стрелке на угол. Следовательно, в случае отрицательной действительной части h корней характеристического уравнения изображающая точка В приближается к особой точкепо спирали. В случае положительной действительной части h корней характеристического уравнения изображающая точка удаляется по спирали от особой точки

При различных начальных условиях движение будет происходить по различным спиралям. Особая точка такого типа называется фокусом. Приэто будет устойчивый фокус, соответствующий устойчивому положению равновесия системы, а при— неустойчивый фокус, соответствующий неустойчивому положению равновесия системы.