8. Определение передаточной функции.

При проектировании САР наряду с методами, основанными на ис­пользовании уравнений состояния, часто применяют способы, бази­рующиеся на представлении элементов (объектов) в виде передаточ­ных функций. Такой подход обладает значительной наглядностью и приводит проектировщика к структурным схемам или графам, с помощью которых можно сложные элементы привести к совокупности простых методами декомпозиции. Для получения передаточных функ­ций линейные дифференциальные уравнения динамических элементов записывают не через оригиналы функций у (t), х (t), .... при t > 0, а с помощью прямого преобразования Лапласа приводят к изобра­жениям функций У(s), Х(s), ..., которые записывают про­писными буквами в виде

где ζ— символ прямого преобразования Лапласа; s— оператор.

Наряду с прямым преобразованием Лапласа в теории автоматического регулирования применяют и обратное преобразование Лaпласа

Разностные уравнения записывают в виде последовательности дискретных сигналов х(t_к), y(t_к), (к = 0,1, ...) или с помощью такта квантования в виде у(кТ₀), х(кТ₀)... Если применить к этим переменным прямое дискретное преобразование Лапласа, тогда для у(кТ₀) имеем

При практическом применении преобразований Лапласа операции ведут не над заданными функциями, а над их изображениями. Для получения изображений необходимо пользоваться некоторыми правилами отображения (свойствами s -преобразования). С помощью преобразования Лапласа можно получать передаточные функции по линейным дифференциальным уравнениям, описы­вающим динамические процессы в стационарных и нестационарных элементах (объектах). В стационарных элементах коэффициенты являются постоянными, поэтому передаточная функция по­стоянна и ее параметры не зависят от времени. В нестационарных элементах коэффициенты меняются от времени и передаточная функция представляет собой сумму членов ряда, каждый из кото­рых определяется характером изменения как самого параметра от времени, так и его производных.

9. Критерий устойчивости Михайлова, кривая Михайло­ва.

При изменении  от 0 до ∞ вектор f(j) будет своим концом перемещаться по кривой и поворачиваться на некоторый угол. При значении  = ∞ этот угол должен быть равен углу φ. Кри­вую геометрического места точек концов вектора называют кривой Михайлова или годографом Михайлова. Критерий устойчивости, сформулированный А. В. Михай­ловым: Система автоматического регулирования будет устойчивой, если при изменении  от 0 до ∞ вектор f(j) совершит поворот в положительном направлении на угол, равный п/2.

где п—степень характеристического уравнения.

Для устойчивой системы при изменении  от 0 до ∞ общее число точек пересечения кривой с осями координат Р () и Q равно порядку характеристического уравнения, причем ве­щественная и мнимая оси пересекаются поочередно. Первой точкой пересечения будет во всех случаях точка, лежащая на положительной вещественной оси. Она получается при зна­чении  = 0, когда в выражении f(j) остается только свобод­ный член. Последняя точка пересечения будет для характери­стического уравнения четной степени лежать на мнимой оси, а для уравнения нечетной степени — на вещественной оси.

В точках пересечения кривой Михайлова с вещественной осью мнимая часть Q() обращается в нуль, и, наоборот, в дочках пересечения кривой с мнимой осью вещественная часть Р (w) обращается в нуль. Поэтому значения w, при которых пе­ресекается кривая с вещественной или мнимой осью, должны являться корнями уравнений: Р(w)=0, Q(w)=0.

Функции Р (w) и Q (w) можно представить графически. Точки пересечения кривых с осью абсцисс дают значения корней уравнения. Для устойчивости системы необходимым условием являются вещественность и перемежаемость корней уравнений.