2. Основы построения мат. Моделей на микроуровне. Законы сохранения энергии, массы, и количества движения

Для построения ММ технического объекта на микроуровне используются фундаментальные математические законы сохранения массы, энергии, количества движения. Общая формулировка закона сохранения: «Изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме»

Закон сохранения массы

ρ – плотность массы;

- вектор плотности потока массы;

- вектор скорости переноса массы

Закон сохранения энергии

e – внутренняя энергия единицы массы

- энергия единицы объема

- вектор плотности потока энергии

G_е – скорость генерации (поглощения энергии) на единицу объема

Закон сохранения количества движения используется при моделировании движения потока жидкости

р – давление жидкости

grad – векторная функция скалярного объекта

3. Общая характеристика условий однозначности краевой задачи. Начальные и граничные условия

В начальной функции Q₀(x) уравнения , хε, t=0 должно задавать начальное, при t=0 распределение во все области , самой функции состояния Q(x) и (М-1) производных по времени t, где М-порядок старшей производной , в уравнении .

;;

Для гиперболических уравнений ,

Для параболических уравнений

Эллиптические начальные условия отсутствуют

Q₀(x) – граничные условия при исследовании процессов в неограниченном пространстве отсутствуют.

При граничном объеме линейных операторов D в уравнении , хε, t>0 может иметь один из следующих видов граничного условия 1-го рода (1-я краевая задача)

, хε, t>0

Т.е. должна быть задана сама функция состояния на границе

Граничные условия 2-го рода (2-я краевая задача)

хε, t>0

Граничные условия 3-го рода (3-я краевая задача, смешанная задача)

, хε, t>0, где α(x,t) – функция на границе области Д, причем α≥0, β≥0.

В общем случае возможна следующая ситуация:

1)на различных участках границы могут задаваться граничные условия различного типа.

2) для объектов с уравнением 1-го порядка всегда рассматривается 1-я краевая задача

3) Граничные условия значительно проще для областей Д правильных форм.

4. Основные типы уравнений для систем с распределенными параметрами. Параболические, гиперболические и эллиптические уравнения.

Базовое уравнение СРП можно представить в виде:

A, B, C, A₁, B₁, C₁ - заданные функции, могут быть константами

. В зависимости от знака дискриминанта различают уравнения:

1. Δ<0, уравнение гиперболического типа

2. Δ=0, уравнение параболического типа

3. Δ>0, уравнение эллиптического типа.

4. Δ меняет знак в области допустимых значений, уравнение смешанного типа

1. Уравнение гиперболического типа

Содержит вторые производные, функции состояний как по времени t, так и по координате х. Описывает процессы различной природы, связанные с конечной скоростью v распространения волновых явлений

, υ²=const>0

Волновое уравнение, моделирует процесс распространения свободных колебаний.

2. Уравнение параболического типа

Содержит первую производную по времени t и вторую по координате х. Описывает задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии, движения вязкой жидкости.

Однородное уравнение теплопроводности, описывает температурные поля, процессы нестационарной теплопроводности, нестационарные электро-магнитные поля.

Неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающий внешние воздействия, источники тепла и энергии

3. Уравнения эллиптического вида

Отсутствует производная по времени t, описывает статическое состояние из объектов СРП

1. Уравнение Гельмгольца

2. Уравнение Пуассона

3. Уравнение Лапласа