3 Корреляционная функция

Есть система с двумя входами и одним выходом

- корреляционная функция

Выходная переменная y(t) имеет диапазон отклонений СКО:

Часть дисперсии выходной переменной определяется изменением входных величин х₁, х₂, … х_n. Количественной оценкой связей является отклонение R².

Рассмотрим интервал (,), то есть те точки, которые попадают в данный интервал, то есть точки от предыдущих значений данного случайного процесса, то есть можно построить функцию связи: .

Корреляционная функция показывает степень связи текущего параметра с его предыдущим значением.

– максимальное время возможности прогнозировать случайный процесс.

Пример. Предположим показания погоды на текущее время 10⁰⁰ совпадает с показаниями с 9⁰⁰ – 10⁰⁰, но менее совпадают с показаниями с 7⁰⁰ и еще более расходятся с показаниями вчерашнего дня, прошедшей недели и т.д. То есть, корреляционная функция R_xx(0)=1 при τ=0 постоянно падает до нуля при τ>τ_зат. Вид корреляционной функции и время затухания являются количественными характеристиками случайного процесса.

Белый шум – сигнал, случайный процесс которого не прогнозируется ни на какое время τ. Белый шум – чисто случайный процесс.

По мере вырезания высокочастотных гармоник, появляется возможность прогнозировать случайный процесс на 1 – 2 шага. Прогнозируемый сигнал называется стохастическим. Характеристикой белого шума является дисперсия.

4 Характеристики скорости изменения случайных процессов во времени

Любой случайной процесс можно разбить на гармоники.

Представим процесс в виде суммы четырех гармоник:

Данные сигналы имеют различные спектральные составляющие.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Спектральная плотность показывает разложение дисперсии по частоте, то есть случайный процесс можно разложить на гармоники.

X₁(t) → ω₁, σ_x1², (S_x1); ω=2πf₁

X₂(t) → ω₂, σ_x2², (S_x2)

X₃(t) → ω₃, σ_x3², (S_x3)

На компьютере всегда можно разложить случайный процесс на составляющие, определить их частоты и дисперсии. Покажем график спектральной плотности:

S(ω)

S(ω)

ω

ω₁

ω₂

ω₃

Площадь под кривой спектральной плотности равна сумме дисперсий гармоник и соответственно равна дисперсии исходного случайного процесса.

Оказывается, что спектральная плотность является преобразованием Фурье от автокорреляционной функции случайного процесса:

По уравнению Эйлера

5 Классификация идентификации

Построение моделей опирается в основном на данные наблюдений. Существует два способа (а также комбинации) формирования математических моделей.

В первом способе исследуемая система расчленяется на такие подсистемы, свойства которых очевидны из ранее накопленного опыта. Формальное математическое объединение этих подсистем становится моделью всей системы. Такой подход называется моделированием или аналитическим методом построения моделей.

В другом способе построения моделей непосредственно используются экспериментальные данные. В этом случае ведётся регистрация входных и выходных сигналов системы, и модель формируется в результате обработки соответствующих данных. Этот способ называется идентификацией.

Задача идентификации. Задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений за входными и выходными переменными объекта построить оптимальную в некотором смысле его модель. При этом объект находится в нормальном режиме функционирования (т. е. в обстановке случайных возмущений и помех).

Классификация идентификации. В соответствии с современной теорией можно предложить следующую классификацию идентификации:

1)   по конечному результату идентификации:

–     структурная;

–     параметрическая;

2)   по способу изучения объекта идентификации:

–     активная;

–     пассивная;

3)   по типу идентифицируемой модели:

–     линейная и нелинейная;

–     детерминированная и стохастическая;

–     с непрерывным и дискретным временем;

–     стационарная и нестационарная;

–     одномерная и многомерная;

–     статическая и динамическая;

–     с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Успех идентификации объекта существенно зависит от соотношения двух факторов: объема априорной информации о структуре объекта и объема измерительной информации. Априорные сведения помогают определить структуру модели, т.е. ее вид (число входов и выходов, характер связи между ними). Эту процедуру называют идентификацией в широком смысле, или структурной идентификацией.

Структура модели ещё не сама модель, и для определения ее параметров необходимо располагать измерениями. Задачу определения параметров модели по наблюдениям работы объекта при заданной структуре модели называют идентификацией в узком смысле или параметрической идентификацией.

Критерии идентификации. Формирование критерия качества, характеризующего адекватность модели реальному объекту, является одним из основных этапов идентификации

6 Т-критерий

Чтобы оценить доверительный интервал, используют t-критерий, при заданном уровне значений и количестве экспериментов υ, где υ используют для того чтобы узнать на какой кривой необходимо работать.

В качестве могут быть случайные величины, например, коэффициенты корреляции и коэффициенты регрессии.

Например, имеется случайная величина. Оценка случайной величины может отличаться от истинной характеристики и от оценки, например, коэффициента регрессии при истинном нулевом значении, при этом сама величина может быть ненулевой.

Например, истинное значение отличается от оценки не более чем на величину , если наша оценка больше чем , то считается, что значение .