1 Природа образования случайных процессов

Систему управления рассчитывают при двух видах задающих и возмущающих воздействий.

1. детерминированные сигналы – сигналы, закон изменения которых известен и можно прогнозировать его изменение во времени (прогнозировать импульс во времени).

2. случайные (стохастические) сигналы зависят от большого количества факторов. Точное прогнозирование не возможно, но они обладают определенными закономерностями и параметрами, учитывая которые можно построить эффективную систему управления или технологический процесс.

Рассмотрим два графика:

I(t)

I(t)

1

2

3

4

5

6

t

t

На рис. 1 изменение тока во времени происходит при небольшом количестве потребления. Зная моменты включения и выключения потреблений, мы можем спрогнозировать изменение тока. Этот объект называется детерминированным.

На рис.2 представлено семейство кривых большого количества потреблений энергии, которое не позволяет учесть изменение тока во времени, то есть изменение в каждый момент времени. Считается, что данный процесс является случайным – стохастическим процессом.

ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. Математическое ожидание (среднее);

Данные сигналы отличаются уровнем, вокруг которого происходит некоторое число колебаний. Уровень характеризует наиболее вероятное значение случайной величины. Сам уровень характеризуется математическим ожиданием – наиболее вероятное значение случайной величины.

, где – дифференцирующая функция распределения

2. Дисперсия (среднеквадратическое отклонение СКО);

Характеристикой ширины коридора колебаний - дисперсия:

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением (СКО):

3. Автокорреляционная функция - зависимость последующих значений от предыдущих

4. Спектральная плотность - спектральная плотность показывает разложение дисперсии по частоте

5. Функция распределения (гистограмма) – зависимость вероятности появления определенных значений сигналов.

2 Задачи нелинейного программирования

Включают в себя несколько этапов:

1. Различные критерии;

2. Уравнения математической модели, которые устанавливают связь между рассчитанными значениями.

Основные виды зависимостей между переменными

1. Функциональная зависимость

y=F(x)

Эта модель не имеет элемента случайности, то есть каждому входному значению x соответствует 1 выходной сигнал y.

2. Зависимость случайной величины от неслучайной.

Такая зависимость имеет место, если есть некоторые факторы или выходная переменная измеряется с ошибкой.

е – шум (ошибка)

На схеме влияние некоторого фактора приведенного к выходному параметру объекта в виде случайного шума е. Обычно используется модель случайного сигнала с нормальным законом распределения с нулевым среднем значением и с заданной дисперсией е = N(0,σ²).

В практике используют зависимость среднего значения выходного сигнала при заданном значении входного сигнала x, то есть так называемого условия математического ожидания от входного сигнала. Задается некоторое значение x, при этом фиксируется выходной сигнал, который вследствие наличия шума е будет является случайным. Таким образом, находится среднее значение, откуда строиться зависимость среднего значения от значения входных факторов.

где - количество точек, - количество экспериментов

Данная задача решается с помощью регрессионного анализа.

3. Зависимость случайной величины от случайной величины, то есть зависимость входного и выходного сигналов.

Эти величины являются случайными в виду их измерения с ошибками или влияния на них некоторых факторов. Для данного анализа используется следующая модель:

В данном случае производится измерение двух параметров:

f=N(0,σ²,s);

δ=N(0,σ²).

При этих условиях связь между f и δ отсутствует, сама корреляционная связь, то есть математическое ожидание или

То есть с точки зрения математического описания объекта в данном случае представляет собой зависимость условия математического описания, то есть

M {η /ξ} – среднее значение математического ожидания функции х.

М(η)=М(у+δ)=М(у)+М(δ)=М(у).

Таким образом, взятие среднего значения выходной переменной, используемого выходного сигнала у, аналогично для использования среднего значения измерения входного сигнала:

Таким путем при построении математической модели исключается влияние случайных составляющих, но для этого необходимо определить объем выборок, то есть экспериментальные данные. Такие задачи решаются методом корреляционного анализа. При этом к регрессионному анализу добавляется вопрос анализа тесноты связи.

*************************************************************************

При построении математических моделей в качестве количественной оценки степени адекватности ММ используют критерий МНК.

в области коэф-тов модели.

y^э – экспериментальное значение, y – расчетное значение.

Задачи НП:

1. критерий

2. ММ (ограничение типа равенства)

3. ограничение типа неравенства

Решение задачи НП при идентификации заключается в таких знач. коэф-тов b_i модели, которые при наличие данной модели и данных огранич. дали мин. значения критерия. Решение задачи оптимизации (минимизации критерия) произв. числ. методами (метод градиентов, наискорейшего спуска, симплекс-метод, метод деформир. многоугольника)

в Excel – специальная программа «Поиск решения» или Solver