Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Основы Теории Управления

Файл:

Кошкин Ю.Н. ОТУ / tau_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

777.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

1.3. Особая точка типа ”седло” – корни действительные – один положительный, дугой отрицательный (рис.136).

∆x	∆y
∆x	апериодические
	расходящиеся
	процессы
	∆x
	t
	рис.136

2.1. Особая точка типа ”неустойчивый фокус” – корни комплексные с положительной вещественной частью (рис.137).

∆x	расходящиеся	∆y
	колебательные
	процессы
	t	∆x
	рис.137

2.2. Особая точка типа ”устойчивый фокус” – корни комплексные с отрицательной вещественной частью (рис.138).

∆x	сходящиеся
	колебательные
	процессы
	t
	рис.138
3. Особая точка типа ”центр” – корни мнимые (рис.139).

∆x	гармонические
	колебания
	t
	рис.139

∆y

∆x

∆y

∆x

3. Построение фазового портрета при любых начальных условиях. Уравнение фазовой траектории, как мы уже имели, получает такой вид (2)

dy	=	Q2	(x,y)		(2)
				.
dx		Q	(x,y)	.
		1

Если есть возможность решить уравнение (2), то тем самым находим семейство интегральных кривых при любых заданных начальных условиях. Совокупность этих кривых на фазовой плоскости дает полную картину динамического поведения САУ – фазовый портрет САУ.

103

Однако, следует отметить, что уравнение (2) нелинейное и в большинстве случаев его

аналитическое решение затруднено. Поэтому для решения уравнения (2) развит приближенный

графоаналитический метод – метод изоклин.

Построение фазового портрета методом изоклин

∆y

Изоклинами

называют геометрические

места точек, в которых

изоклина

наклон касательных ко всем фазовым траекториям одинаков (рис.140).

фазовые

траектории

= const = I , получим уравнение изоклины

∆x

Полагая

Рис.140

Q2 (x, y)

(8)

(x, y) = I .

Фазовая траектория, как это следует из определения изоклины, пересекает изоклину под углом,

равным arctgI . Поэтому, задаваясь

I1 ,I2 ,I3 ,Κ ,

в фазовой плоскости можно построить семейство

изоклин, причем на каждую изоклину

наносят

риски

определенным

наклоном

равным

arctg Ii (i =12,,3,Κ ).

Порядок построения фазовой траектории:

Из точки M0

(начальных условий)

∆y

проводится два луча: один параллелен

углу наклона фазовой

траектории к

изоклине, откуда начинается движение,

другой

параллелен

углу

наклона

фазовой

траектории

последующей

изоклине. Из угла, образованного

∆x

этими лучами проводится биссектриса

до

пересечения

со

следующей

изоклиной (точки M1) и т.д.

vx<0

После

построения

фазовой

траектории,

необходимо

определить

направление

движения

по

ней

при

vy<0

возрастании

t . Для этого в точках, где

необходимо

определить

направление

Рис.141

движения,

например

M(x1 ,y1 ),

y ) = dx

определяются проекции скорости

= Q

(9)

= Q

, y ) =

Если для точки M(x1 ,y1 )	dx	xy		< 0,	dy	xy		< 0, то проекции скоростей vx и vy будут иметь
Если для точки M(x1 ,y1 )	dt	xy	==xy1	< 0,	dt	xy	==xy1	< 0, то проекции скоростей vx и vy будут иметь
			1				1

направление как на графике и тогда движение по траектории будет направлено к началу координат.

В результате построения фазового портрета нелинейной системы могут быть получены траектории, которые называются особыми.

Особыми траекториями называют такие фазовые траектории, которые разделяют плоскость на различные качественные процессы или траектории. К ним относятся:

1.сепаратрисы;

2.предельные циклы.

104

сепаратриса

сепаратрисы

Рис.142

Классификация предельных циклов с точки зрения устойчивости

Замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Предельные циклы могут быть (рис.143):

1.устойчивыми

2.неустойчивыми

3.полуустойчивыми

1.	y	2.	y	3.	y
		x		x	x
		x			x

Рис.143

Предельный цикл будет устойчивым, если внутренняя и наружная траектории будут асимптотически к нему приближаться (наматываться) (рис.143(1)).

Предельный цикл будет неустойчив, когда траектории внутренняя и наружная удаляются от него. Такая система устойчива при малых отклонениях и неустойчива при больших (рис.143(2)).

Предельный цикл будет полуустойчив, если траектории наружные к нему приближаются, а внутренние удаляются. Такой предельный цикл в реальной системе существовать не может (рис.143(3)).

Построение фазового портрета для нелинейной системы с кусочно-линейными звеньями

Метод припасовывания

g(p)	ε(p)	y(p)	k1	x1(p) 1	x(p)
		Φ	T1p+1	p
			T1p+1	p

рис. 144

Φ - нелинейное звено, которое для определенности имеет вид трехпозиционного поляризованного реле с зоной нечувствительности без гистерезиса (рис.145).

		y		b – зона нечувствительности реле.
				b – зона нечувствительности реле.
			С	Как уже говорилось, фазовый портрет системы – это
			ε(-x)	Как уже говорилось, фазовый портрет системы – это
-С	–b	+b	ε(-x)	семейство	фазовых	траекторий,	соответствующих
				различным начальным условиям (воздействиям). Поэтому
	рис. 145			можно принять g(t) = 0. Тогда ошибка
	рис. 145

ε = g(t)− x = −x,ε = −x.

(1)

105

Таким образом, при положительном				x	(например x > b)			сигнал на выходе нелинейности будет
− C, и наоборот, при отрицательном x			(например				− x > −b )	на выходе нелинейности будем иметь
сигнал + C .
Составим уравнения, описывающие поведение данной системы:
				dx = x ,
				dt	1
				dt
	T1	dx								(2)
	T1			1 + x1 = k1 y,						(2)
		dt
		y = Φ(−x).
		y = Φ(−x).
									x
Если за координаты фазовой плоскости принять выходную величину									x	и скорость изменения
	dx
выходной величины	dt = x1, то в соответствии						с видом	нелинейности	вся фазовая плоскость
разбивается на три области.
I. Когда x < b и y = 0, следовательно уравнения системы (2) принимают вид:
				dx = x ,
				dt	1
				dt						(3)
		dx1								(3)
		dx1			= 1 x .
		dt			T1	1
		dt			T1
					dx	=x1
					dt
I=0							M0
							M0
k1C
							b			x
				-b			b
										-k1C
										I=0
	III y=C				I	y=0			II	y=-C
					Рис.146
Из системы (3) найдем уравнение фазовой траектории (для чего второе уравнение (3) разделим на
первое)		dx1			1
		dx1			1					(4)
			dx		= − T .
Решая (4)						1
Решая (4)				= − 1 dx,
	dx			= − 1 dx,
		1			T1
					T1
	x1		= − 1 x + A,							(5)
					T1
где A – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
					106

Уравнения (5) являются фазовыми траекториями в области I, x < b – это прямые линии,

параллельные друг другу и имеющие отрицательный угол наклона, равный − T1 .

Отрезок x < b, x1 = 0 называется отрезком покоя.


II. При	x	≥ b,		y = ±C
II. При	x	≥ b,		y = ±C
Область II			при	x ≥b	y = −C
Область III			при x ≤ −b		y = +C

Линии x = ±b на фазовой плоскости называются линиями переключения (на них припасовываются решения, соответствующие разным областям).

Уравнение системы (2) для этих областей принимают вид:

= x1

(6)

dx1

k1C

= ±

−

Решая (6) аналогично предыдущему, получим

dx1

= ±

k1C

−

(7)

T1x1

Уравнение (7) представляет собой уравнение фазовой траектории в области II с ”–” у первого слагаемого правой части и в области III с ”+”.

Интегрирование (аналитическое решение) уравнения (7) затруднительно, поэтому найдем уравнение изоклин

dxdx1 = I = const или из (7)


I = ±	k1C		−	1	,	I +	1	= ±	k1C		,
I = ±	T x		−	T	,	I +	T	= ±	T x		,
	T x			T			T		T x
1		1		1			1	1		1

x = ±

k1C

(8)

+T1I

Уравнение (8) есть уравнение изоклин. Задаваясь значениями Ii = const

получим из (8)

прямые

линии параллельные оси абсцисс.

Причем,

как

это

видно

из

±1,0

. . .

±∞

таблицы, каждому

значению

I ,

± k1C

k1C

. . .

соответствует

свой

угол

наклона

1+ T1

фазовой траектории. Изоклины и

arctgI

0°

45°, 135°

. . .

90°

соответствующие

углы

наклонов

фазовых траекторий на них, наносятся на фазовую плоскость. После этого, по определенным величинам начальных условий (при t = 0, x = x0 , x1 = x0′) строится фазовая траектория или семейство фазовых траекторий.

По фазовому портрету отметим следующее:

1.На фазовой плоскости всегда видно отображение нелинейности.

2.Фазовый портрет релейной системы состоит из нескольких зон, соответствующих различному состоянию реле (включено, выключено) такая фазовая плоскость называется многолистной.

3.Для построения фазовых траекторий методом припасовывания на границе нелинейности (линиях переключения) принимаются конечные значения координат (x1,x) предыдущей области в качестве начальных для следующей области, т.е. припасовываются (приравниваются) конечные и начальные условия.

4.Полученный фазовый портрет дает полное описание динамических свойств системы.

Метод точечного преобразования академика А.А.Андронова

107

Мы уже говорили, что в нелинейных системах могут возникать особые движения – предельные

циклы (устойчивые, неустойчивые и полуустойчивые). При определении этих режимов и их параметров

часто

используется

метод

точечных

отображений

(преобразований),

разработанный

академиком

А.А.Андроновым и его учениками (1956÷58).

Сущность этого метода состоит в следующем:

Зададимся начальным значением M0

на положительной оси x с

абсциссой x0 . Допустим,

через некоторый промежуток времени

изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, уравнение

M1(x1) M0(x0)

которой известно,

снова пересекает положительную полуось x в

точке

с абсциссой

x1 . Причем значение координаты x1 может

быть выражено через x0 определенной функциональной

Рис.147

зависимостью через уравнение фазовой траектории; т.е.

x1 = f (x0 ) ,

(1)

функция f (x0 ) называется функцией последования.

По виду функции последования (1) можно судить о динамическом поведении системы, а именно

если:

< x0

– процесс является затухающим;

> x0

– процесс является расходящимся;

= x0

– в системе имеется предельный цикл (автоколебания).

Построим график

x1 = f (x0 )

(рис.148) и биссектрису координатного угла x1 = x0

– называемого

диаграммой точечного преобразования (диаграмма Кенигса-Ламерея):

– Затухающим процессам соответствует участок

зависимости

f (x0 ), лежащим ниже биссектрисы (левее

=x1

x1=f(x0)

точки А и правее точки В).

– Расходящимся процессам соответствует участок

зависимости

f (x0 ), лежащий выше биссектрисы (между

точками А и В).

–

Точки

пересечения

зависимости

f (x0 ) с

биссектрисой

определяет

амплитуды

возможных

незатухающих колебаний в системе A и A .

x01

x02

Рис.148

Устойчивость предельных циклов определяется как

показано на рис.148 стрелками. Следовательно, предельный цикл в точке А – неустойчив, а в точке В –

устойчив.

Следует отметить, что с помощью точечного преобразования можно исследовать динамику

системы, не строя самого фазового портрета. Кроме того, этот метод применяется для определения

влияния параметров системы на характер переходных процессов в ней. При этом могут быть

определены критические (бифуркационные) значения параметров, переход через которые качественно

меняет фазовый портрет системы.

В заключении укажем,

что точечное преобразование иногда проще строить для полуоси y. Если

фазовый портрет симметричен относительно одной из координатных осей (пример релейная система),

достаточно находить функцию последования для преобразования положительной полуоси в

отрицательную.

Если на фазовом портрете есть линии переключения, то обычно вместо координатных полуосей

удобнее находить точечное преобразование для этих линий.

Построение переходного процесса по фазовой траектории

108

В любой точке фазового пространства координаты траектории (x,y) однозначно связаны со

временем.
y=	dx	Рассмотрим участок фазовой траектории (рис.149).
y=	dt	На некотором участке AB примем её линейной.

AВыберем точку N посредине отрезка AB. В пределах

этого участка можно записать

ср.

∆x = xb

− xa

= ∆t

(1)

сp.

∆x

где

– средняя величина производной

dt сp.

на участке AB.

xa с

Рис.149

Рассмотрим треугольник acd

(2)

ac = dc tg

2 .

Из равнобедренного треугольника abd, учитывая (1) от выражения (2) можно перейти

∆x =

или

∆t

= 2

cp.

dt cp.

dt cp

∆t = 2tg

β .

(3)

Угол β можно определить из равнобедренного треугольника abd.

Порядок построения ПП по фазовой траектории:

1. Выбирается постоянный шаг ∆t и определяется

	∆t
угол β = 2arctg 2 .
2. Из точки	x0 (начальные условия) (рис.150)
проводится	прямая под углом	α = 90ο −	β	до
			2

пересечения с фазовой траекторией в точке y1 .

3.Из точки y1 под углом β к проведенной ранее прямой проводится новая прямая до пересечения с осью абсцисс x. Точка x1 есть искомое значение x(t1 )(точка 1).

4.Точка x1 является исходной для следующего шага и т.д.

5.Поступая аналогично, находят полную картину переходного процесса в системе.

	y	y0	y1	y2
		y0	y1		y3
						y4


			β	β
				β	β
					β
						β
		x0	α	α	α	α	x
∆t		0	x1	x2	x3	x4
∆t			1
∆t
∆t				2
∆t
∆t					3
∆t
	t					4
	t		Рис.150
			Рис.150

Прямой (второй) метод А.М.Ляпунова для исследования нелинейных систем

Второй метод А.М.Ляпунова (первый нами подробно рассмотрен при изучении линейных САУ), получивший название прямого метода основан на построении специальных функций (функций Ляпунова) по исходным нелинейным дифференциальным уравнениям, описывающих поведение системы.

Пусть исходная система описывается дифференциальными уравнениями вида:

dxK	= fK (x1 ,x1 ,Κ ,xn ), где (k = 1,2,Κ ,n) ,	(1)
dt

fK – нелинейные функции.

109

В начале дадим некоторые определения:

– Знакопостоянной функцией называется такая функция, которая имеет постоянный знак и обращается в ноль в конечном числе точек заданной области фазового пространства.

Пример: 1. V(x1 ,x2 ) = (x1 − x2 )2 .

2.V(x1,x2 ) = (x1 − x2 )2 + x32 .

–Знакоопределенной функцией называется функция, которая имеет определенный знак и

обращается в ноль только в начале координат.

Пример: 1. V(x1,x2 ,x3) = x12 + x22 + x32 – определенно-положительная функция. 2. V(x1,x2 ,x3 ) = −(x12 + x22 + x32 ) – определенно-отрицательная функция.

Теорема 1. Если для исследуемой системы можно подобрать такую знакоопределенную функцию V(xK ), что её полная производная по времени в силу исходной системы дифференциальных уравнений (1) будет знакопостоянной функцией противоположного с V(xK ) знака, то исследуемое состояние равновесия будет устойчивым.

Найденная функция V(xK ) называется функцией А.М.Ляпунова. Рассмотрим фазовое пространство (в частности 3-мерное).

		x2
		С3
	С1	С2
x4	С1	С3>С2>С1
	Рис.151

В фазовом пространстве координат (x1,x1,Κ ,xn )

функция

V(xK ) = C = const , которая удовлетворяет

требованиям теоремы, изображается в виде замкнутой поверхности, охватывающей точку равновесия xK = 0

(рис.151).

Если C → 0, то V(xK )→ 0, т.е. при уменьшении C поверхность ”стягивается в начало координат”.

Если в силу уравнений системы (1) V(xK )→ 0 (т.е.

величина	dV(xk )	отрицательна), то это означает, что с
	dt

течением времени происходит переход от внешних поверхностей к внутренним, т.е. фазовые траектории пронизывают замкнутые поверхности снаружи внутрь, т.е. в конечном итоге стягиваются к точке равновесия. Система в этом случае устойчива

dV(xK ) = ∑∂V(xK )		dxK		= ∑∂V(xK )	fK (x1,x1,Κ ,xn ).	(2)
	n			n
dt	K=1 ∂xK		dt	K=1 ∂xK

Теорема 2. Если для исследуемой системы можно подобрать такую знакоопределенную функцию V(xK ), что её полная производная по времени в силу исходной системы дифференциальных уравнений (1) будет также знакоопределенной функцией противоположного с V(xK ) знака, то исследуемое состояние равновесия будет устойчиво асимптотически.

Трудность применения прямого метода Ляпунова состоит в отсутствии общих правил отыскания функций V(xK ). Здесь в большей мере приходится рассчитывать на интуитивный подбор, что

существенно ограничивает применение данного метода.

Кроме того, прямой метод Ляпунова дает лишь достаточное, но не необходимое условие устойчивости.

Для линейных систем функции Ляпунова представляют собой квадратичные формы координат, коэффициенты которых находятся по определенному разработанному алгоритму.

Для нелинейных систем общей методики построения функций Ляпунова нет. Решены лишь некоторые задачи, которые можно распространить на достаточно широкий класс нелинейных систем.

Построение V-функций Ляпунова (примеры)

110

1. Метод Лурье-Постникова.

В 1944 г. для одного частного вида уравнений

dxK = fK (x1,x1,Κ ,xn ,t),

где (k = 1,2,Κ ,n)

(1)

задача об устойчивости была изящно решена А.И.Лурье и В.Н.Постниковым.

Рассмотрим эту задачу: Дана система уравнений описывающая поведение нелинейной САУ

dx1 = −x

+ f (x

= − f (x3 ),

(2)

dx3 = (α −1)x

+αx

− rf (x

где x1 ,x2 ,x3

– текущие координаты системы,

α,r

– постоянные коэффициенты,

f (x3 )

– нелинейная зависимость,

на которую

накладываются следующие

ограничения

(рис.152):

непрерывна и имеет непрерывные производные,

однозначна,

нечетна, т.е. f (x3 ) = − f (−x3 ),

f (x3 ) = 0, если

x3 ≤ ε

(зона нечувствительности).

f(x3)

Лурье и Постников предложили для такого класса нелинейных

систем V-функцию Ляпунова в виде квадратичной формы координат

(для линейной части системы) плюс интеграл от нелинейности

α −

1x12

α x12

V =

+ ∫3

f (x3 )dx3 .

(3)

−ε

Функция

(3)

является

определенно-положительной,

т.к.

(−x1 )2 ,(−x2 )2 и

f (−x3 )d(−x3 ) = f (x3 )dx3 при любых значениях

Рис.152

xi все слагаемые положительны.

Возьмем полную производную по времени от (3)

dx1

dx2

dx3

(4)

dt = (α

−1)x1 dt +

αx2 dt

f (x3 ) dt .

Подставим в (4) соответствующие производные из системы (2).

= (α

−1)x1[− x1 + f (x3 )]+αx2[− f (x3 )]+ f (x3 )[(α −1)x1 +αx2 − rf (x3 )]=

(5)

= −(α −1)[f (x3 )− x1]2 −(r +1−α)[f (x3 )]2.

Если

α −1> 0,

(6)

r +1−α > 0

то производная

из (5) всегда отрицательна,

следовательно состояние равновесия системы

устойчиво. Если условие (6) не будет выполнено, то об устойчивости состояния равновесия ничего

сказать нельзя.

Определение абсолютной устойчивости нелинейных систем

Абсолютная устойчивость – это устойчивость в целом (при любых начальных условиях) нелинейной системы при нелинейности принадлежащей к определенному классу.

111

Φ(x)

Наиболее

разработанными

являются

методы

исследования

устойчивости

для

класса

нелинейностей,

заключенных

между

двумя

прямолинейными лучами, проходящими через начало

координат в I и III квадрантах и имеющих угловые

коэффициенты r и k (рис.153).

arc

Гипотеза

М.А.Айзермана:

1946

г.

М.А.Айзерман выдвинул гипотезу о том, что если

заменить нелинейный элемент с характеристикой,

Рис.153

лежащей внутри угла

(r,k)

линейным,

если

линеаризованная таким образом система будет

(r,k) будет Гурвицев

устойчивой, т.е. угол

(выдерживаются

условия

алгебраического

критерия

Гурвица для линейных систем), то исходная нелинейная система будет абсолютно устойчива.

Эта гипотеза справедлива для большого количества задач, структурная схема которых имеет вид

(рис.154). Φ(ε) – удовлетворяет выше названным требованиям.

g(t)	ε	Φ(ε)	Wл (p)	x
		Φ(ε)	Wл (p)

рис. 154

Однако не для всех систем её можно применять, поэтому большой интерес вызывает метод определения абсолютной устойчивости нелинейных систем при помощи частотных характеристик. Этот метод разработан румыном В.М.Пóповым (1959 г.).

Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова

Принимаем g(t) = 0 (рис.154).

Определение: Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью WЛ (jω) было абсолютно устойчивым, достаточно, чтобы выдерживались следующие условия:

	+αjω)WЛ ( jω) +			1
Re (1					> 0;	(1)
Re (1					> 0;
		Φ(x)		k
				k
	0 <		< k,

		x
		x

где k – максимальный угловой коэффициент для сектора нелинейной характеристики. α – некоторое постоянное число.

Считая, что линейная часть системы устойчива, рассмотрим геометрическую интерпретацию

критерия, для чего введем частотную характеристику	(2)
WЛ( jω) = U(ω)+ jV*(ω),

которая отличается от частотной характеристики линейной части системы WЛ (jω) лишь мнимой частью:

U*(ω) =U(ω),	(3)
V*(ω) =ωV(ω).

Частотная характеристика W* ( jω) обладает следующими свойствами:
Л	WЛ (jω) порядок полинома
1. Если в частотной характеристике линейной части системы	WЛ (jω) порядок полинома
числителя не выше порядка полинома знаменателя, то W* ( jω)	будет всегда лежать в конечной
Л

части плоскости. Это означает, что при ω → ∞ U* (ω) и V* (ω) стремятся либо к нулю, либо к конечному пределу.

112

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Кошкин Ю.Н. ОТУ

#
23.01.2019543.42 Кб21tau_1.pdf
#
23.01.2019909.77 Кб15tau_2.pdf
#
23.01.20191.72 Mб15tau_3.pdf
#
23.01.2019807.35 Кб15tau_4.pdf
#
23.01.2019777.29 Кб16tau_5.pdf
#
23.01.2019771.74 Кб15tau_6.pdf
#
23.01.2019788.43 Кб16tau_7.pdf