Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Основы Теории Управления

Файл:

Кошкин Ю.Н. ОТУ / tau_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

909.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Ax0 + Bu = 0 → Ax0 = −Bu,	(3)
получим	(4)
x0 = −A−1Bu .	(4)

Решение (4) существует и является единственным, если матрица A невырождена, т.е. det A≠ 0.

	x					Если u = const , то x0 = const		(рис.66).
						Если возмущающее воздействие F вывело систему из
						Если возмущающее воздействие F вывело систему из
						состояния равновесия, а по окончании его действия система
	x0		x			возвращается в	это состояние,	то такая	система устойчива
	x0					возвращается в	это состояние,	то такая	система устойчива
						(рис.66).
					t	t1, t2 – моменты действия возмущений.
		t1	t2
		t1	t2
		F↓	F↑
		Рис.66
Рассмотрим отклонение системы от состояния равновесия
		где x				∆x = x − x0 ,			(5)
		где x	– текущие координаты вектора состояния,
		x0	– вектор состояния установившегося режима.
Определение:			Линейная система устойчива, если				lim∆x(t) = 0.		(6)
Рассмотрим как изменяется ∆x во времени.							t→∞
Рассмотрим как изменяется ∆x во времени.
			∆x = x&− x0			, но т.к. x0 = 0, то ∆x = x.			(7)
			&	&		&	& &		(7)
Подставим (5) и (7) в (1).				&
				&
или учтя (3), получим				∆x = A(∆x + x0 ) + Bu = A∆x + Ax0 + Bu
			∆x&= A∆x − Bu+ Bu = A∆x .						(8)
Как видно из (8) поведение				∆x		во времени определено матрицей объекта A.			Следовательно эту

матрицу необходимо изучать для установления факта устойчивости. При этом можно не переходить к отклонениям от равновесного состояния, а рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений

x&= Ax

(9)

Основное условие устойчивости

Итак, уравнения, определяющие устойчивость системы имеют вид			(1)
&	n
	x R , dimA	= n×n.
x = Ax,
Если известно начальное состояние системы при		t=0, x(0), то решение (1), как мы уже видели,

будет

					n
			x(t) = ∑ fi (xi (0))eλitei ,
ei					i=1
ei	– собственные вектора динамической системы,
λi	– собственные значения матрицы A или корни характеристического уравнения
				det[λI − A] = 0.
Если имеем скалярную систему, то характеристическое уравнение имеет вид
	a	n	λn +a	n−1	λn−1 + Κ +a λ +a	0	= 0,
а решение (1), тогда		n		n−1	1	0
а решение (1), тогда
	x(t) = c eλ1t +c eλ2t + Κ +c eλnt ,
				1	2	n

где ci , i =1,n – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.

(2)

(3)

(4)

(5)

Встает вопрос: каким требованиям должны удовлетворять корни λi , i =1,n, для того, чтобы выполнялось условие устойчивости. Из (2) и (5) видно, что для x(t)→ 0, при t → ∞, необходимо, чтобы каждое слагаемое eλit → 0.

Это возможно, как мы уже отмечали, когда Reλi < 0,i =1,n.

Теорема об устойчивости. Для устойчивости линейной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части (были левыми).

Докажем условие необходимости:

Имеем характеристическое уравнение (4), тогда, если известны корни характеристического уравнения, полином можно представить в таком виде (теорема Виета):


D(λ) = an (λ − λ1)(λ − λ2 )Κ (λ − λn ) .					(6)
Не лишая общности рассуждения, полагаем an = 1, тогда возможно:
1. Если все корни вещественны и отрицательны, т.е.					(7)
λi = −αi , i =		.
	1,n
Подставляя (7) в (6), получим
D(λ) = (λ +α1)(λ +α2 )Κ (λ +αn ) .					(8)
Перемножая скобки в (8), получим полином n-й степени, в котором					все коэффициенты
положительны.
2. Если все корни комплексные, но с отрицательной вещественной частью, т.е.					(9)
λi = −αi ± jωi , i =				.
			1,n

Снова подставим (9) в (6), допустим для двух комплексно-сопряжённых корней, тогда получим

λ = −α ± jω
D(λ) = (λ +α − jω)(λ +α2 + jω) = (λ2 + 2αλ +α 2 +ω2 ) .	(10)
Из (10) видно, что также получается многочлен с положительными коэффициентами.
Из рассмотренного вытекает необходимое условие устойчивости:

Для устойчивости линейной динамической системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными, т.е. ai > 0, i = 1,n.

Заметим, что в данном определении отсутствует слово ”достаточно”.

Однако, данное условие является намного эффективнее основного условия устойчивости, т.к. не требует вычисления корней.

То есть по виду характеристического уравнения системы можно сделать какое-то заключение об устойчивости. Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен, то сразу можно сказать, что система неустойчива.

Однако, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то в общем случае нельзя уверенно утверждать, что система устойчива.

Для суждения об устойчивости САУ практически нет необходимости находить корни характеристического уравнения, т.к. хорошо разработаны косвенные методы, по которым можно судить о знаках вещественных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные методы называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости линейных САУ

1.Алгебраические.

2.Частотные.

1.Алгебраический критерий Гурвица (1895 г., Швейцария).

Наиболее распространен в технической практике алгебраический критерий Гурвица в форме определителей.

Пусть имеется характеристическое уравнение системы:

an pn + an−1 pn−1 + an−2 pn−2 + Κ + a1 p + a0 = 0.

(1)

Составляется определитель Гурвица по следующему алгоритму:

1.Главная диагональ, начиная с коэффициента an−1 , an−2 и т.д. до a0 .

2.Коэффициенты над главной диагональю – с уменьшающимися индексами.

3.Коэффициенты под главной диагональю – с увеличивающимися индексами.

an−1	an−3	Λ	0
an−1	an−3	Λ	0
an	an−2	Λ	0	– определитель Гурвица
Λ	Λ	Λ	Λ	– определитель Гурвица
0	0	Λ	a0

Определение критерия: Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица и сам определитель были положительны

∆1 = an−1 > 0,

∆ =		an−1	an−3	= a a − a a > 0,
2		an	an−2	n−1 n−2	n n−3
. . . . . .
∆n	> 0.

Для определения критического значения какого-либо параметра САУ достаточно приравнять

нулю ∆n−1 .

Следствие алгебраических критериев: Для уравнения 2-го порядка, положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.

Область применения алгебраических критериев ограничивается, как правило, системами не выше 5- го порядка, т.к. условия устойчивости усложняются с ростом порядка системы. Кроме того, алгебраические критерии применяются лишь для анализа системы на устойчивость при известных всех её параметрах. Отметим, что алгебраические критерии не применимы для систем с чистым запаздыванием.

Частотные критерии устойчивости

Существует три частотных критерия:

1.Критерий Михайлова (1938 г.)

2.Критерий Найквиста (1932 г.)

3.Д-разбиение Ю.И.Неймарка (1948 г.)

1.Критерий Михайлова.

Имеется характеристическое уравнение системы n-го порядка

			an pn + an−1 pn−1 + an−2 pn−2		+ Κ + a1 p + a0 = 0.		(1)
Левую часть (1) приравниваем M(p)
			M(p) = an pn + an−1 pn−1 + an−2 pn−2 + Κ + a1 p + a0 .				(2)
Допустим, что корни уравнения (1) известны						и равны p1, p2 , Κ pn . Тогда по теореме Виета
уравнение (2) можно представить в виде произведения сомножителей
			M(p) = an (p − p1)(p − p2 ) Κ (p − pn ) .				(3)
На комплексной плоскости корней каждому					pi	корню соответствует вполне определенная точка
(рис.67).
	Im			Геометрически, каждый корень			pi изображается вектором
	pi			Геометрически, каждый корень			pi изображается вектором
	pi			из начала координат, равный модулю комплексного числа, а угол
		ϕi
		ϕi	Re	между вектором и положительным направлением действительной
			Re	оси – фазе комплексного числа.
	p-pi
			p

	Рис.67

M(jω)

Величины ( p − pi ),	входящие множителями в (3) геометрически представляют собой векторы
проведенные из точки pi	к p.
Заменив в (3) p на	jω , получим
M(jω) = an (jω − p1)(jω − p2 ) Κ (jω − pn ) ,		(4)

концы элементарных векторов

(рис.68).

	Im
	jω
p2
p1	p3	Re
p1

Рис.68

( jω − pi ), i =1,n будут находиться на мнимой оси в точке jω

M(jω) представляет собой вектор, равный произведению

векторов

( jω − pi )

и действительного

числа

an . Модуль

M( jω)

равен:

M( jω)

= an ∏

jω − pi

(5)

i=1

M(jω) равна сумме

фаз

элементарных

Фаза

вектора

векторов ( jω − pi )→ϕi

ϕM = ∑ϕi .

(6)

i=1

Условимся считать вращение векторов против часовой стрелки положительным. Тогда при увеличении частоты ω от −∞ до + ∞ каждый элементарный вектор ( jω − pi ) повернется на угол

равный + π , если корень pi левый. Если корень pi правый, то на угол − π .

Предположим, что уравнение (1) имеет k правых корней. Тогда при изменении ω от −∞ до + ∞

суммарный угол поворота определяется
ϕM = π(n − k) − πk = π(n − 2k).	(7)

Как известно из основной теоремы устойчивости, для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми. Следовательно при изменении ω от −∞ до + ∞, как это следует из (7), необходимо и достаточно, чтобы вектор

повернулся на угол ϕM = πn.
При возрастании ω от	−∞ до + ∞ вектор M(jω)на комплексной плоскости M описывает
кривую, которая называется годографом Михайлова.
Уравнение годографа находится подстановкой p= jω в (2)
M( jω) = an ( jω)n + an−1 ( jω)n−1 + an−2 ( jω)n−2 + Κ + a1 jω + a0		(8)
или
M( jω) = U(ω) + jV(ω) – алгебраическая форма комплексного числа,		(9)
где U(−ω) = U(+ω)	– четная функция ω (действительная часть),
V(−ω) = −V(ω)	– нечетная функция ω (мнимая часть).
Если положить в (9) вместо ω −ω , то получим
	M(− jω) =U(+ω) − jV(ω)	(10)

Из последнего выражения заключаем, что годограф Михайлова симметричен относительно действительной оси при ω > 0 и ω < 0.

Поэтому при построении годографа достаточно изменять ω от 0 до + ∞. При этом

результирующий угол поворота годографа M(jω) уменьшится вдвое, т.е. ϕM = n 2 .

Критерий Михайлова: Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до + ∞ годограф Михайлова прошёл столько квадрантов, каков порядок характеристического уравнения, причем начинался бы с положительной действительной оси и не нарушал порядок пересечений вещественной и мнимой осей комплексной плоскости M.

Пример:

1. Для устойчивых систем.

2. Для неустойчивых систем.

n=2	Im	n=5
n=2	n=1	n=5
	n=1		Im
			Im
	ω=0	Re		Re
	n=4	на
		границе устойчивости		n=4
		n=4		n=4
n=3		n=4		n=4
n=3	Рис.69		Рис.70	n=4
	Рис.69		Рис.70
2. Критерий Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Это один из самых рабочих (инженерных) критериев. Когда, однако, рассматривается многоконтурная система, критерий Найквиста преимущества не имеет и лучше пользоваться критерием Михайлова.

Имеем замкнутую САУ (рис.71)

G(p)

E(p) Wp(p)

X(p)

рис. 71

Мысленно размыкаем систему в контуре ОС и место разрыва считаем одновременно входом и выходом системы, одновременно переходя в частотную область , т.е. p→ jω .

P( jω) Wp ( jω) = Q( jω)

где P( jω) и Q( jω) – полиномы числителя и знаменателя разомкнутой системы Wp (jω).

Докажем этот критерий:

Wз ( jω) =		Wp ( jω)	.
	1	+Wp ( jω)

Рассмотрим знаменатель выражения (2).

1+Wp ( jω) = 1+	P( jω)	=	P( jω) + Q( jω)	.
	Q( jω)
			Q( jω)

(1)

(2)

(3)

В уравнении (3) знаменатель представляет собой годограф разомкнутой системы, а числитель

годограф замкнутой системы, т.к.	P( jω)
Wз ( jω) =		.
	P( jω) + Q( jω)

1. Предположим, что разомкнутая система устойчива. Большинство реальных разомкнутых систем, состоящих из устойчивых звеньев и не имеющих местных ОС – устойчивы. Если разомкнутая система устойчива, то фаза Q(jω) при изменении ω от 0 до + ∞ будет равна

ϕQ	= nπ , где n – порядок характеристического уравнения Q(p) = 0.
0<ω<∞	2
Порядок характеристического уравнения также n, т.к. степень P(p) не больше степени Q(p).
Изменение фазы числителя (3) при изменении ω от 0 до			+ ∞, т.е. фазы годографа замкнутой
системы, в общем случае, равно:		= π (n − 2k),
	ϕP+Q	= π (n − 2k),	(4)
	0<ω<∞	2

где k – число правых корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Тогда изменение фазы вектора (1+ Wp )					при возрастании ω от 0 до + ∞ равно разности изменения
фаз (P + Q) и Q.
	ϕ(1+W ) =ϕ(P+Q) −ϕQ				= π (n − 2k)− π n = −πk .		(5)
		p			2	2
		p
		0<ω<∞
По основной теореме устойчивости система будет устойчива, если k = 0, тогда
				ϕ(1+Wp ) = 0.			(6)
				0<ω<∞
Изобразим на комплексной плоскости годограф 1+ Wp (jω).
	Im	ω=0	Re		ϕ(1+Wp ) = 0	– тогда и только тогда, когда этот годограф не
	Im

	ω=+∞				0<ω<∞
				охватывает начало координат (рис.72).
				охватывает начало координат (рис.72).

Рис.72

Переходим к амплитудо-фазовой характеристике Wp ( jω), которая отличается от 1+ Wp (jω)

переносом начала координат на 1 вправо, а критической точкой комплексной плоскости является

− 1, j0 (рис.73).

-1,j0	ω=+∞	ω=0	Re
	ω2	ω1
	ω2
	Рис.73

1-е определение критерия Найквиста: Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку комплексной плоскости Wp ( jω) с координатами − 1, j0.

Пример:

1.	Im			2.	Im
1.				2.
-1,j0	ω=+∞	ω=0	Re	-1,j0	ω=+∞	ω=0	Re

									а
									в
							и
						ч
					й
				о
			т
		с
	у								а
									а
								в
							и
						ч
					й
				о
			т
		с
	у
е
н

			а
		в
	о	и		(клювообразная частотная
	о	ч		(клювообразная частотная
	й
т				характеристика) - система
с
у

многоконтурная. Вид её зависит от места разрыва контура регулирования.

3.Im

-1,j0	ω=+∞	ω=0	Re
	ωi

ω2 ω1

Рис.74

←система находится на границе устойчивости.

ωi – частота незатухающих колебаний.

Физика: если на вход разомкнутой системы подать гармонический сигнал частоты ωi , то амплитуда и частота

выходного сигнала будут равны амплитуде и частоте входа, а сдвиг фаз составит 180°.

2-е определение критерия Найквиста: Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и её характеристическое уравнение имеет l правых корней, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0

до ∞ охватывала точку комплексной плоскости Wp ( jω) с координатами − 1, j0				l	раз.
				2	раз.
Пример:				2
Пример:	Im		Угол поворота вектора Wp ( jω)	должен быть равен
l=2

			− l π (доказательство самостоятельно).
			− l π (доказательство самостоятельно).
-1,j0	ω=+∞	ω=0	Re

Рис.75

Понятие запаса устойчивости по фазе и по модулю

Т.к. параметры системы определяются приближенно и в процессе работы не остаются постоянными, то весьма важное значение имеет оценка удаления частотной характеристики от точки − 1, j0. Это

удаление характеризует запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по модулю (усилению). За критическую фазу принимается ϕ = −180ο и модуль M = 1.

Для определения этих запасов на частотной характеристике разомкнутой системы проводится окружность радиусом 1 с центром в начале координат (рис.76). Тогда:

		1.	Запас по фазе ∆ϕ = π − ϕ(ωi ) для частоты ωi , при
-1,j0 a c	ω=+∞	ω=0	которой Wp (jωi ) = 1.
ωj ∆ϕ		Re 2.	Запас по модулю определяется величиной модуля a для
			частоты ωj , при которой ϕ(ωj ) = −π , это отрезок от
ωi			− 1, j0 до точки с.
			− 1, j0 до точки с.

Рис.76

Практически, обычно, считают для качественных систем a = 30÷ 35%, ∆ϕ = 40ο ÷ 60ο .

Запасы устойчивости системы достигаются включением дополнительных звеньев или изменением параметров старых звеньев. Дополнительные звенья (корректирующие) выполняют роль фильтров определенного диапазона частот, что соответствующим образом деформирует частотную характеристику, обеспечивая требуемые запасы по фазе и модулю (рис.77).

		Im
-1,j0	a	ω=+∞	ω=0
		ϕ	Re
		ϕ
		∆
		l
		Рис.77

Физический смысл запаса устойчивости по фазе и по модулю

				F
g	ε	W1	u	x
	x	W1	W2	W3
	x

рис. 78

Подавая на вход системы гармонический сигнал и увеличивая частоту, на выходе получим сигнал с изменяющейся амплитудой и возрастающей фазой.

Т.к. рассматривается ГОС, то фаза ОС равна − π , т.е. если бы W1W2W3 = k (безынерционны) то на

суммирующем устройстве фаза входного и выходного сигналов отличается на угол -180° (рис.78). Допустим при Wp =WW1 2W3 (инерционной) получили отставание по фазе выходного сигнала на

определенной частоте -200°, тогда обратная связь из отрицательной превратилась в положительную. При положительной ГОС и M >1 в системе происходит генерирование колебаний и она

становится неустойчивой.

F ↓ → x ↑ → ε = g − (−x)↑ → u↑ → x ↑↑ и т.д.

Если при ПОС M <1, то всякие возмущения будут затухать в самом контуре регулирования системы, и она будет устойчива.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Кошкин Ю.Н. ОТУ

#
23.01.2019543.42 Кб21tau_1.pdf
#
23.01.2019909.77 Кб15tau_2.pdf
#
23.01.20191.72 Mб15tau_3.pdf
#
23.01.2019807.35 Кб15tau_4.pdf
#
23.01.2019777.29 Кб16tau_5.pdf
#
23.01.2019771.74 Кб15tau_6.pdf
#
23.01.2019788.43 Кб16tau_7.pdf