БГУИР ТВиМС КР 1 Вар 23

3

Задача №1.23

Номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000). Определить вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

Найдём число всех возможных комбинаций номера автомобиля:

Задача 2.23

На приведенной ниже схеме соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p₁ = 0.1, p₂ = 0.2, p₃ = 0.3, p₄ = 0.4, p₅ = 0.5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

5

Задача №3.23

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал третий блок.

Решение

Обозначим через А событие – прибор вышел из строя в результате отказа одного из блоков. Можно сделать следующие предположения:

Задача №4.23

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

Решение

Событие - попадание в мишень.

Задание 5.23

Ряд распределения случайной величины Х представлен таблицей:

X	2	4	6	8	10
P	0.2	0.3	0.05	0.25	0.2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Математическое ожидание:

Задача 6.23

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу с, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [2; 3].

Найдем функцию распределения F(x) и с.

Задача 7.23

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y).

Плотность равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины Х определяется выражением:

График представлен на рисунке.

Задача 8.23

Двумерный случайный вектор (X,Y) равномерно распределен внутри области S, заданной таблицей:

х1	х2	х3	х4	х5	х6	y1	y2
0	0	2	4	2	0	1	2

Вычислить коэффициент корреляции между величинами Х и Y.

Построим область S. Соединим последовательно точки с координатами из таблицы:

Задача 9.23

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить их коэффициент корреляции R_UV:

,

где a₀ = –6, a₁ = –5, a₂ = –5, b₀ = 5, b₁ = 7, b₂ =–1; математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты величин X_i, соответственно: m₁ = 9, m₂ = –9, m₃ = –4, D₁ = 9, D₂ = 16, D₃ = 16, K₁₂ = 6, K₂₃ = 8, K₁₃ = 6.

Задача 10.23

Дана выборка одномерной, случайной величины Х:

X =[7.34 3.60 9.79 2.10 -5.36 9.03 3.98 1.66 -2.00 6.91

4.98 -6.56 3.89 3.76 8.32 1.15 6.62 3.55 1.99 6.84

-1.58 2.16 -1.86 0.28 2.62 7.27 3.36 3.52 -7.21 2.53

5.19 7.18 4.13 11.30 -2.03 4.02 -1.39 0.26 1.03 0.57

1.07 10.30 -0.19 4.53 3.89 7.17 3.90 1.22 2.39 -1.06

2.51 1.20 3.34 9.50 -0.29 6.43 5.09 -3.66 6.61 4.95

7.56 1.26 -1.31 -2.03 4.39 0.56 4.62 3.72 0.56 4.02

3.11 3.43 9.79 1.08 2.20 3.12 1.98 -3.31 5.51 3.02

1.61 7.96 0.13 -5.17 4.85 4.36 7.59 13.04 8.53 -0.47

5.38 5.48 -2.38 2.55 6.48 0.92 -0.16 -0.25 11.82 4.87];

Вариационный ряд получается путем расположения элементов выборки по возрастанию:

За полным содержанием данной работы обращайтесь по следующим адресам:

https://vk.com/orororr

schmuglevski@mail.ru

Построение гистограмм

а) Равноинтервальный метод

В этом методе диапазон значений вариационного ряда делится на равные интервалы длины h и подсчитывается число m_i точек, попавших на каждый интервал. Точки подсчитываются по вариационному ряду или по таблице для построения эмпирической функции распределения. Если значение точки попадает на границу между интервалами, то в счетчик каждого интервала добавляется по 0.5.

Число интервалов гистограммы определяется по формуле:

б) Равновероятностная гистограмма

При построении гистограммы этим методом интервалы определяются так, чтобы на каждый из них попало бы одинаковое число точек, т.е. вариационный ряд делится по порядку на М равных групп. Если значение последнего элемента интервала совпадает со значением первого элемента

Оценка математического ожидания

3.1226

Оценка дисперсии

Выборочная дисперсия 15.7510

Среднеквадратическое отклонение S₀ = 3.9687

Доверительные интервалы

Проверка гипотезы по критерию χ²

Используем равноинтервальную гистограмму. Интервал гистограммы h =2.0250 . Тогда теоретическая вероятнос

Задача 11.23

Дана выборка двумерной случайной величины:

B=[-0.47 1.82; 2.93 -1.50; 3.74 -0.81; 3.67 0.97; 7.27 -4.14

5.77 -2.92; 3.14 -0.74; 4.15 -0.08; 4.10 0.92; 3.94 0.25

3.15 0.90; 2.41 1.50; 4.68 -1.00; 4.57 -2.35; 3.15 1.63

3.56 0.98; 7.35 -4.63; 0.72 -1.72; 8.86 -5.91; 7.92 -2.57

2.08 0.59; 5.00 -2.73; 9.77 -7.25; 5.72 -2.99; 1.08 4.58

4.25 -2.23; 7.80 -5.02; 5.59 1.58; 3.94 -2.71; 2.02 -0.44

3.80 -1.06; 4.06 2.72; 3.00 0.41; 5.69 -0.50; 4.74 -3.52

6.42 -3.47; 1.14 3.43; 2.07 2.99; 4.15 2.25; 8.03 -2.70

6.89 -4.06; 7.58 -2.45; 5.83 -2.78; 3.23 -0.51; 6.10 -4.32

5.98 -3.09; 4.55 -1.75; 6.84 -1.28; 3.34 1.33; 1.48 3.69];

Здесь символом ";" отделены пары значений случайной величины – это строки, т.е. матрица В имеет два столбца. Обозначим 1-й столбец Х, 2-й – Y, а конкретные i-ые значения случайной величины обозначим (x_i,y_i).

Число опытов n = 50.

Оценки математических ожиданий по каждой переменной

Проверка гипотезы о некоррелированности X, Y при уровне значимости α = 0.05.

предположим, что двухмерная случайная величина (X, Y) распределена по нормальному закону. Выдвинем гипотезу: H₀: = 0; и альтернативную: H₁: ≠ 0.

За полным содержанием данной работы обращайтесь по следующим адресам:

https://vk.com/orororr

schmuglevski@mail.ru

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М: Наука, 1988. - 480с.

3. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с.

4. Волковец А.И., А.Б. Гуринович А.Б. Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2003.- 82 с.

5. Волковец А.И., Гуринович А.Б. Аксенчик А.В. Методические указания по типовому расчету по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2009.- 65 с.