Теория игр
Лектор – Костромин Андрей Владиленович
Матричные игры
a11 |
a12 |
|
a1n |
|
|
||
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
a21 |
|
a2n |
aij |
|
|||
A |
|
|
|
|
|
mxn |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
||||
A1, A2 , , Am B1, B2 , , Bn
aij mxn R
|
B1 |
B2 |
|
Bn |
A1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
A2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
am1 |
am2 |
… |
amn |
|
B1 |
B2 |
|
Bn |
|
A1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
1 |
A2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
am1 |
am2 |
… |
amn |
m |
|
1 |
2 |
… |
n |
|
Нижняя цена игры
(максимин):
maxi minj aij maxi i
Верхняя цена игры
(минимакс):
minj maxi aij minj j
Пример 1. Найти нижнюю и верхнюю |
||||
чистые цены матричной игры: |
||||
|
4 |
4 |
5 |
|
|
3 |
5 |
7 |
|
A |
|
|||
|
5 |
6 |
6 |
|
|
|
|||
max i max 4; |
3; |
5 5 |
i |
|
|
min j min 5; |
6; |
7 5 |
j |
|
|
a31 v 5
Пример 2. Найти нижнюю и верхнюю |
|||||
чистые цены матричной игры: |
|||||
|
|
7 |
1 |
9 |
|
|
|
6 |
8 |
4 |
|
|
A |
|
|||
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|||
4 |
7 |
|
4 v 7 |
||
Чистые и смешанные стратегии
игроков
A3 : x 0; |
0; |
1 |
B1 : y 1; |
0; |
0 |
x 0, |
|
,0, |
1, |
0, |
|
,0 |
Ai , Bj : |
|
,0, |
1, |
0, |
|
,0 |
y 0, |
Определение. Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор
x x1, x2 ,..., xm , |
|
|
|
|
|
|
m |
|
||
|
xi 0, i |
|
|
, |
|
xi 1 |
|
|||
|
1, m |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, y2 |
,..., yn |
y j 0, j 1, n, |
|
|
|||||
y y1 |
y j 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
Определение. Если xi>0, yj>0, игра называется активной
Платежная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
игры: |
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, y aij xi y j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
j 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Стратегии * |
|
* |
* |
|
|
* |
|
y |
* |
|
* |
* |
* |
||
x |
x1 |
, x2 ,..., xm , |
|
|
y1 |
, y2 |
,..., yn |
||||||||
называются оптимальными, если для |
|
|
|||||||||||||
произвольныхx x1стратегий, x2 ,..., xm , |
y |
y1, |
y2 ,..., yn |
|
|||||||||||
выполняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условие |
* |
f |
* |
, y |
* |
|
|
* |
, y |
|
|
|
|
||
f x, y |
|
x |
|
f x |
|
|
|
|
|
||||||
Определение. Решением игры
называется совокупность оптимальных стратегий и цены
игры
Цена
игры:
Теорема (об активных стратегиях). Если один игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, если другой игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.