Существование равновесий Нэша и смешанные стратегии
Игра «Совпадение монет»
Два игрока одновременно и независимо друг от друга кладут на стол по монете каждый, прикрывая свою монету рукой. По команде судьи они поднимают руки. Игрок 1 выигрывает, если монеты лежат по – разному, а игрок 2 выигрывает, если они лежат одинаково.
О Р
О -1,1 1,-1
Р |
1,-1 |
-1,1 |
О Р
О |
-1,1 |
1,-1 |
Р |
1,-1 |
-1,1 |
Определение. Смешанная стратегия игрока i
– это вероятностная мера μi на множестве его чистых стратегий si. Если все множества стратегий конечны, μi(si) является
вероятностью выбора игроком i стратегии si: |
|
i si 0, |
i si 1 |
si Si
Определение. Смешанным расширением игры в нормальной
форме |
|
|
|
|
|
G Si ,ui ,i N |
|
||||
называется игра |
Gm Mi , |
ui ,i N |
|||
|
i | i si 0, |
|
|
множество |
|
где Mi |
i si 1 |
||||
|
|
si Si |
|
|
|
смешанных стратегий игрока i;
s i si
i N
- вероятность выбора s при независимом выборе si;
ui s ui s
s S
- ожидаемый выигрыш в исходной игре, 1,..., n
i j , j i , |
i , i |
Определение. РН в смешанных стратегиях μ* называют РН в смешанном расширении Gm:
ui i*, *i |
ui i , *i ; |
i Mi , |
i N |
|
|
|
O |
P |
|
|
|
|
O |
-1,1 |
1,-1 |
|
p |
|
|
P |
1,-1 |
-1,1 |
|
1-p |
|
|
|
q |
1-q |
|
|
1 O p; |
1 P 1 p; |
2 O q; |
2 P 1 q. |
|||
u1 O 1 q 1 1 q 1 2q |
|
|
|
|||
u1 P 1 q 1 1 q 2q 1 |
|
1 |
|
|||
u1 O |
u1 P : |
p 1 |
1 2q 2q 1 q |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
u1 O |
u1 P : |
p 0 |
1 2q 2q 1 q |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
u1 O |
u1 P : p 0,1 |
1 2q 2q |
1 q 1 |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго:
|
1, |
q 1/ 2 |
||
R1 |
|
0, |
q 1/ 2 |
|
q p |
||||
|
|
0,1 , |
q 1/ 2 |
|
|
|
|||
u2 O 1 p 1 1 p 2 p 1 u2 P 1 p 1 1 p 1 2 p
|
|
|
2 O |
|
|
2 P : |
q 1 |
2 p 1 1 2 p p |
1 |
||
u |
u |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 O |
|
2 P : |
q 0 |
2 p 1 1 2 p p |
1 |
||||
u |
u |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 O |
|
2 P : |
q 0,1 |
2 p 1 1 2 p p 1 |
|||||
u |
u |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого:
|
1, |
p 1/ 2 |
||
R2 |
|
0, |
|
p 1/ 2 |
p q |
|
|||
|
|
0,1 , |
p 1/ 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
игрок 1 |
игрок 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q |
|
|
O 1 |
|
|
P 1 . |
|
|
|
2 |
; |
2 |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
O 1 |
; |
1 P 1 . |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1/2 |
p |
|
|
|
|
|
1 |
||