3.3 Код с четным числом единиц

Это простейший систематический код с параметрами . Он строится добавлением к комбинации из информационных символов одного проверочного, равного сумме всех информационных символов по модулю два. При этом каждая кодовая комбинация содержит четное число единиц. Если в принятой кодовой комбинации окажется нечетное число единиц, то делается вывод о наличии в ней ошибок.

Порождающая и проверочная матрицы такого кода:

,

.

Уравнение кодирования: .

Этот код имеет и позволяет обнаруживать любое нечетное число ошибок.

3.4 Коды Хэмминга

Это линейные блочные коды с параметрами , где - положительное целое число, - число проверочных символов. Для задания кодов Хэмминга обычно используется проверочная матрица. Ее столбцами являются все ненулевые двоичные числа длиной .

Они обладают кодовым расстоянием и способны исправлять только одну или обнаруживать две ошибки.

Примеры полных кодов Хэмминга: (7, 4), (15, 11), (31, 26), (63, 57).

Пример 3.5:

Рассмотрим код Хэмминга (7, 4). Проверочная матрица:

Порождающая матрица:

.

Модификациями кодов Хэмминга являются укороченные и удлиненные коды Хэмминга.

Чтобы получить проверочную матрицу укороченного кода Хэмминга, необходимо в проверочной матрице полного кода исключить любые Т столбцов, относящиеся к информационным разрядам, где Т - параметр укорочения.

Удлиненные коды Хэмминга получаются путем введения дополнительной проверки на четность всех символов кодового слова.

Коды Хэмминга обладают очень слабой корректирующей способностью и отдельно практически не используются. Очень хорошие результаты позволяет получить применение данных кодов в составе каскадных схем кодирования. Каскадные коды состоят из двух или более кодов: кодовые слова одного кода являются информационными символами для кода следующей ступени.

4 Циклические коды

4.1 Основные понятия

Поиск более простых процедур кодирования и декодирования привел к появлению циклических кодов.

Циклические коды – линейные блочные коды, обладающие свойством цикличности: если - кодовое слово циклического кода, то его циклическая перестановка также является кодовым словом.

Пример 4.1:

.

Для построения кода достаточно задать одно кодовое слово. Другие кодовые слова образуются из исходного путем циклических перестановок и их линейных преобразований.

Все преобразования кодовых слов циклических кодов производятся в виде математических операций над полиномами (многочленами). Для этого кодовые слова представляются в форме полиномов:

,

где - коэффициенты полинома;

- символическая переменная.

Пример 4.2:

.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления полиномов выполняются по обычным арифметическим правилам, только вычитание заменяется сложением, которое производится как сложение по модулю два.

Циклические коды задаются с помощью порождающего (образующего) и проверочного полиномов.

Любой полином степени , который делит без остатка полином вида , называется порождающим полиномом:

,

где - коэффициенты полинома.

Полиномы всех кодовых слов делятся без остатка на порождающий полином.

Порождающая матрица строится на основе полинома .

Для несистематического циклического кода:

.

Для систематического циклического кода:

,

где - прямоугольная подматрица , строками которой являются коэффициенты полинома остатка от деления на полином , где - номер строки.

Пример 4.3:

Показать, что полином является порождающим для 7-разрядного циклического кода. Записать матрицу .

Для несистематического кода:

.

Для систематического кода:

.

Результат деления полинома вида на порождающий полином называется проверочным полиномом:

,

где - коэффициенты полинома.

При отсутствии ошибок в принятом кодовом слове остаток от деления произведения на полином вида равен нулю:

.

Проверочная матрица строится на основе полинома .

Для несистематического циклического кода:

Для систематического циклического кода:

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

2. Найти полином для задачи из примера 4.3. Записать матрицу .