2.3 Код с постоянным весом

Это неразделимый блочный код, каждая кодовая комбинация которого имеет одинаковое число единиц (одинаковый вес).

Если вес принятой кодовой комбинации отличается от заданного, то выносится решение об ошибке. Данный код обладает и обнаруживает все ошибки нечетной кратности и часть ошибок четной кратности (не обнаруживаются только ошибки смещения, когда число искаженных единиц равно числу искаженных нулей).

Пример 2.3:

Таким кодом является код МТК-3 – семиразрядный код, каждая кодовая комбинация которого содержит три единицы.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1 [3.1.1] с.272…277;

[3.1.2] с.307…313;

[3.1.3] с.185…189, 193;

[3.1.5] с.137…144;

[3.1.14] с.49…52;

[3.1.15] с.12…23.

2. Составить кодовые комбинации четырехразрядного кода, если каждая из них имеет вес два. Привести пример переданного и принятого кодового слова, если произошла ошибка смещения.

3 Систематические линейные блочные коды (слбк)

3.1 Основные понятия

Линейные коды – коды, для которых поразрядная сумма по модулю два любых разрешенных кодовых комбинаций также является разрешенной кодовой комбинацией. Линейные коды называют также групповыми.

Они задаются с помощью порождающей и проверочной матриц, которые связаны основным уравнением кодирования:

,

где - транспонированная проверочная матрица (строки переписаны в столбцы );

- нулевая матрица.

Матрица содержит строк и столбцов, ее элементами являются нули и единицы. Строками матрицы являются любые ненулевые линейно независимые векторы, отстоящие друг от друга не менее, чем на заданное кодовое расстояние. Понятие линейно независимые означает, что каким бы образом мы не суммировали по модулю два различные строки матрицы, мы не получим суммы, равной нулю.

С помощью матрицы можно создавать линейный код: суммируя в различном сочетании строки матрицы , получают все (кроме нулевой) комбинации кода. Полученный код содержит кодовых слов длины .

Если две порождающие матрицы различаются только порядком расположения столбцов, то определяемые ими коды называются эквивалентными. Они имеют одинаковые кодовые расстояния и, следовательно, одинаковые способности обнаруживать и исправлять ошибки.

Пример 3.1:

Код Рида-Маллера (8, 4) задается следующей порождающей матрицей:

.

Матрица содержит строк и столбцов. Единицы в каждой строке этой матрицы показывают, какие символы кодовой комбинации нужно сложить по модулю два, чтобы получить нуль. Используется для проверки правильности приема.

Чаще всего применяют систематические линейные коды. Такие коды задаются матрицами в систематической (приведено-ступенчатой или канонической) форме:

,

где , - единичные подматрицы размерностью и соответственно;

- прямоугольная подматрица размерностью ;

- прямоугольная подматрица размерностью .

Пример 3.2:

Систематический код Рида-Маллера (8, 4) задается порождающей матрицей:

.

Найдем проверочную матрицу:

.

3.2 Кодирование информации

1) С помощью матрицы : операция кодирования заключается в умножении информационного вектора на порождающую матрицу , т.е.

,

где - кодовый вектор.

Пример 3.3:

Рассмотрим кодирование информационного слова кодом Рида-Маллера (8, 4):

=(11000011).

2) С помощью матрицы : в СЛБК информационные символы слова входят без изменения в кодовое слово и занимают в нем первые позиций, к ним добавляются проверочных символов, правила формирования которых задает проверочная матрица.

Единицы в -ой строке подматрицы указывают, какие информационные символы необходимо просуммировать по модулю два, чтобы получить -ый проверочный.

Пример 3.4:

Из матрицы систематического кода Рида-Маллера запишем правила формирования проверочных символов:

,

,

,

.

Тогда для .