Лекция 12. Знакопеременные ряды.

Ряд называетсязнакопеременным, если среди членов ряда содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительных членов.

Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если ряд из модулей членов рядасходится.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство.Так как рядсходится, то рядтоже сходится. Ряд- знакоположительный, так каки сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядом, так как. Вычитая из сходящегося рядасходящийся ряд, получаемсходящийся ряд(свойство сходящихся рядов).

Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.

Пусть ряд абсолютно сходится, тогда его члены можно переставлять, получая абсолютно сходящийся ряд с той же суммой.

Доказательство.Обозначимs- сумму ряда,S– сумму ряда.

Рассмотрим ряд . Он знакоположительный, так как. Он сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядом, так как. Его сумма равнаs+S.

Пусть ряд получен перестановкой членов из.

Тогда знакоположительный ряд получен перестановкой членов из. По теореме Дирихле он сходится и имеет ту же суммуS.

Знакоположительный ряд получен перестановкой членов из ряда. Следовательно, по теореме Дирихле, он сходится и имеет ту же суммуS+s.

Вычитая из сходящегося ряда сходящийся ряд, мы получим ряд. По свойствам сходящихся рядов он сходится и имеет сумму, равную (S+s) –S=s.

Следовательно, ряд , полученный при перестановке членов ряда, сходится и имеет ту же сумму, что и ряд.

Ряд называетсяусловно сходящимся, если ряд из модулей членов рядарасходится, а сам рядсходится.

Теоремы о структуре знакопеременных рядов.

Обозначим - положительные члены,- отрицательные члены знакопеременного ряда.A– ряд,Am– ряд,P– ряд,Po– рядA, в котором все отрицательные члены заменены нулями на тех же местах.Q– ряд,Qo– рядA, в котором все положительные члены заменены нулями на тех же местах.

Пример

A

Am

Po

P

Qo

Q

Теорема РядыP,Po, рядыQ,Qoсходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.Так как ряд знакопеременный, то два последовательных положительных члена отделяет друг от друга конечное число отрицательных членов. То же верно и для последовательных отрицательных членов. Пусть первая серия нулей вPo: Тогда, т.е.kэлементов в последовательности частичных сумм повторяются. Исключим их из последовательности и перенумеруем члены (это соответствует исключению серии нулей). Исключение последовательных одинаковых элементов не влияет на сходимость и предел последовательности. Далее доказательство можно провести по индукции, так как операция исключения нулей аналогична. Поэтому рядыPoиPсходятся или расходятся одновременно. Аналогичное верно и дляQoиQ.

Теорема. ЕслиPсходится,Q– сходится, тоAmсходится, т.е. рядAсходится абсолютно.

Доказательство.Так какPсходится, тоPoсходится, так какQ– сходится, тоQo– сходится. Складывая сходящиеся рядыPoи (-Qo) почленно (учитывая, что), получим сходящийся ряд. Это – рядAm.

Теорема. ЕслиPсходится иQрасходится илиPрасходится иQсходится, тоAрасходится.

Доказательство. Рассмотрим один из вариантов. ПустьPсходится иQрасходится.

Тогда Poсходится. Будем доказывать от противного. ПустьAсходится, тогда, вычитая из него сходящийся рядPo, получим сходящийся рядQo. Тогда по доказанной выше теореме рядQсходится. Противоречие.

Второй вариант Pрасходится иQсходится рассматривается аналогично.

Теорема. Пусть рядAусловно сходится, тогда рядыP,Qрасходятся.

Доказательство.ЕслиP,Qоба сходятся, то по доказанной выше теоремеAmсходится, т.е. рядAсходится абсолютно. Противоречие.

Если Pсходится иQрасходится илиPрасходится иQсходится, тоAрасходится.(по доказанной выше теореме). Противоречие.

Следовательно, оба ряда P,Qрасходятся.

Итак, получена следующая схема.

.

Эта схема отражает суть теорем о структуре знакопеременных рядов.

Пример.

P:- сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Q:сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, исходный рядAабсолютно сходится.

Пример.

P:- сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Q: расходящийся ряд (по второму признаку сравнения с гармоническим рядом). Следовательно, исходный рядAрасходится.