Интегральный признак Коши.

Пусть при определена непрерывная, не возрастающая функцияf(x), такая, что . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл.

Доказательство. - это площадь под графиком функциипри.

Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком функции снизу, аограничивает ее сверху, то.

. Достаточность. Если интеграл сходится, то, поэтому последовательностьограничена сверху. Так как эта последовательность не убывает, то по теореме Вейерштрасса. Поэтому рядсходится.

Необходимость.Если рядсходится, то, а по необходимому признаку сходимости рядапри. Поэтому последовательность(неубывающая, так как) ограничена сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, т.е. несобственный интеграл сходится.

Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.

Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.

Пример. Применим интегральный признак кгармоническому ряду.

- интеграл расходится, поэтому и гармонический ряд расходится.

Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле». Название взято в кавычки, так неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

. Ясно, что интеграл сходится приp>1 и расходится приP<1. Случайp=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

.

Интересно, что ряд , интегралырасходятся (проверьте по интегральному признаку).

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенствоможно проверять «начиная с некоторого n». Поэтому эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.

Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм ограничена сверху числом . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по п.1 доказательства и ряд сходится. Противоречие. Следовательно, ряд расходится.

Пример. Рядрасходится, так как, а ряд(гармонический) расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела..

.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится (, ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пример.Ряд срасходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

Ряд сходится.- ограничена. Ряд сравнения- сходящийся ряд Дирихле.