Свойства дивергенции.

1. Линейность.

.

2. , где - постоянное векторное поле.

3. , где- скалярное поле.

==.

Соленоидальное поле и его свойства.

Векторное поле называетсясоленоидальным в областиV, если в любой точкеMэтой области

Свойства соленоидального поля.

1. Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.

Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.

2. Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

Рассмотрим две замкнутых поверхности и, окружающие изолированный источник (сток). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостьюPи выберем на ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону, введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к «верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и «нижние» части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям. Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежит выше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости. Вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости. В той и другой области поле соленоидально. Следовательно,

поток векторного поля через границы этих областей равен нулю.

,

.

Складывая эти выражения, получим .

3. Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

Обозначим Sбок–боковую поверхность векторной трубки. На боковой поверхности направления нормали и векторного поля ортогональны, так как векторная трубка образована векторными линиями, а вектор поля направлен по касательной к векторной линии. Поэтому поток векторного поля через боковую поверхность векторной трубки равен нулю (ПSбок.= 0). Учитывая направления нормалей и вектора поля на сечениях векторной трубки S1иS2, а также соленодальность поля, получим .

Следствие.Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля.

В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.

Лекция 9 Формула Стокса. Ротор векторного поля.

Назовем роторомвекторного полявектор

Свойства ротора.

1. Линейность

=+

=.

2. - постоянное векторное поле.

3. 

=

+=.

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область Vсодержит кусочно-гладкую поверхностьс кусочно-гладкой границей.

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в областиV.

Тогда справедлива формула Стокса

Замечание. Нормаль к поверхностипроведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура, совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стокса состоит из трех независимых частей (в силу произвольности компонент векторного поля). Докажем одну из этих частей, остальные формулы доказываются аналогично. Докажем - часть формулы Стокса, в которой содержится только компонентаP. Предположим, что поверхность описывается уравнением. Тогда нормаль к поверхности

представляет собой вектор

Отсюда видно, что . Вспомним еще, что.

(на поверхности , поэтому под интегралом стоит частная производнаяPпоyс учетом зависимостиzотyна поверхности)

=

Используем формулу Грина для области Dс ее границей. Ее можно записать в виде

. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функцииP. Продолжаем равенство дальше.

=.

В самом деле, на контуре , а переменныеx,yна том и другом контуре те же, так как контур- это проекция контурана плоскостьOXY(параллельно осиOZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интегралом векторного поля по дугеLназывается криволинейный интеграл .

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

.

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.