§17. Бесконечно удаленная особая точка.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называетсяизолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf(z), есливнекруга некоторого радиуса R,

т.е. при , нет ни одной конечной особой точки функцииf(z).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену Функция

будет иметь особенность в точкеζ= 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ= 0 ), функцияможет быть разложена в ряд Лорана по степенямζ. Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Однако, если вернуться к исходной переменной z, то ряды по положительным и отрицательным степенямz‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

1. Ряд Лорана функции f(z) не имеет слагаемых с положительными степенями:− устранимая особая точка:Если, при этом, сумма начинается сn=m> 0, тоz= ∞ нольm−го порядка.

2. Ряд Лорана функции f(z) имеет конечное число слагаемых с положительными степенями:− полюсm−го порядка:

3. Ряд Лорана функции f(z) имеет бесконечное число слагаемых с положительными степенями:существенно особая точка. Вне любого круга радиусаRфункцияf(z) принимает все комплексные значения.

Примеры.1.. Точкаz = i − полюс 3-го порядка.

2. . Точкаz = ∞ − существенно особая точка.

§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z₀является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

f(z) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точкиf(z) может быть представлена единственным образом рядом Лорана :где

Определение. Вычетом аналитической функцииf(z) в изолированной особой точкеz₀

называется комплексное число, равное значению интеграла , взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точкуz₀.

Вычет обозначается символом Res [f(z),z₀].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.

В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с_-1ряда Лорана:

.

Пример.Найти вычет функции.

{Пусть Легко видеть, что

коэффициент с_-1получится при умножении слагаемых приn= 0:Res[f(z),i] =}

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f(z) имеет в т.z₀полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16):. Умножим это равенство на (z−z₀) и перейдем к пределу при. В результате получим:Res[f(z),z₀] = Так, в

последнем примере имеем Res[f(z),i] =.

Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию

на (m− порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m −1) раз.

В этом случае имеем: Res[f(z),z₀]

Пример.Найти вычет функциив т.z= −1.

{Res[f(z), −1] }