§10.Интегралы в комплексной области.

Пусть функция непрерывна в областиG, аL– гладкая кривая, лежащая в этой области, заданная уравнениемКривую будем считать ориентированной, если заданы начальная и конечная точки кривой. При этом, положительное направление задается изменением параметраtот меньшего значения к большему (т.е.А– начало кривой,В– конец ).

Напомним, что кривая называется гладкой, если у нее существует непрерывная касательная в каждой точке, что эквивалентно наличию непрерывных производных

не равных нулю одновременно. Необходимо сделать замечание относительно ориентации замкнутых кривых, так как начальная и конечная точки в этом случае совпадают. Если замкнутый контур без самопересечений целиком лежит в некоторой области, то обход контура называют положительным при движении противчасовой стрелки.

При этом контур обозначают Г⁺или простоГ(по умолчанию). В противном случае ориентация контура называется отрицательной и обозначаетсяГ⁻. Если же контур является границей области, то его обход называется положительным в том случае, когда область при движении остается слева. Например, положительный обход областиидет против часовой стрелки, а области− по часовой. По умолчанию, обход области по границе всегда будем считать положительным.

Определение. Интегралом от функции комплексной переменной по кривойLназывается:

.

Таким образом, интеграл от комплексной функции равен сумме двух криволинейных интегралов второго рода (см. курс «Теория поля»), которые, в свою очередь, сводятся к вычислению двух обыкновенных интегралов:

+

Примеры. Вычислить интегралы:

1. {}

2. ипо окружностиLрадиусаRс центром в т.z₀ . {Запишем уравнение окружности в виде:

Отсюда:

1) .

2) }

Замечание. Значение интегралов во втором примерене зависятот радиуса окружности.

§11. Теория интегрирования Коши.

Примеры предыдущего параграфа: а) показывают существенное отличие интегрирования в комплексной области от интегрирования в действительной и б) легко обобщаются.

Теорема Коши.Пусть− аналитическая функция в односвязной областиD, аГ − любой кусочно – гладкий замкнутый контур, принадлежащий этой области. Тогда интеграл от функцииf (z) по контуруГравен нулю:

{Так как f− аналитическая функция, то ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши – Римана:,, откуда сразу следует, что подынтегральные выраженияи(§10) представляют собой полные дифференциалы (см. ФНП)

и, следовательно соответствующие криволинейные интегралы по замкнутому контуру (см. ТП) равны нулю (Пример 2.2 §10)}

Доказанная теорема легко обобщается на многосвязные области.

Теорема.Пусть функцияf(z) – аналитическая в многосвязной области, ограниченной ориентированным контуромГ. В этом случае

{ Доказательство теоремы проведем для двусвязной области (Рис.2):

Область Dограничена контуромГ =Г₁+Г₂, ориентированным

вположительном направлении. Соединим контурыГ₁иГ₂линией γ. Ориентируем γ двумя способами: γ⁺и γ⁻. В результате получим односвязную область,

ограниченную контуром По теореме Коши

Так какполучаем:

В общем случае

При этом, каждый из интегралов может быть и не равным нулю (пример № 2.1 §10)}

Обозначим буквой Гкусочно – гладкий замкнутый контур, ориентированный против часовой стрелки, а тот же контур, ориентированный по часовой стрелке − символомГ ⁻(в этих обозначениях в последней теореме следовало бы писатьи).

Следствие.Пусть областьDограничена внешним контуромГи внутренними контурами

Г₁, … ,Г_n. В последних обозначениях, для аналитической нафункции имеет место

равенство:

{В указанных обозначениях утверждение теоремы имеет вид: Отсюда:

}

Замечание. Из полученных результатов следует, что примеры §10 верны для любого кусочно – непрерывного замкнутого контураГ, содержащего точкуz₀:и