§8.Производная фкп. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.

Пусть w=f (z) – однозначная функция, определенная в области.

Определение 1. Производнойот функцииf(z) в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Функция, имеющая производную в точке z, называетсядифференцируемойв этой точке.

Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.

Пример.

С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что

Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:

Замечание. Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в §5).

Определение 2.Функцияf (z) , непрерывно дифференцируемая во всех точках областиG, называетсяаналитическойилирегулярнойна этой области.

Теорема 1.Если функцияf(z) дифференцируема во всех точках областиG, то она является аналитической в этой области. {б/д}

Замечание. Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.

Теорема 2.Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. {б/д. Ниже ( в §13 ) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях}

Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: Теорема 3. ( Условия Коши − Римана). Пусть функцияf(z) дифференцируема в некоторой точке. Тогда функцииu (x,y) иv (x,y) имеют в этой точке частные производные, причем

и, называемыеусловиями Коши – Римана.

{Так как значение производной не зависит от способа стремления величины к нулю, выберем следующий путь:Получаем:

Аналогично, при имеем:, что и доказывает теорему.}

Верно и обратное утверждение:

Теорема 4.Если функцииu(x,y) иv (x,y) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функцияf (z) – дифференцируема в этой точке.{б/д}

Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.

Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:

При этом можно считать х иупроизвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам:

Примеры. Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.

1.

функция регулярна;

2. функция не дифференцируема.

Замечание. Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.

§9.Гармонические функции.

Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля» :

Определение.Функцияu(x,y) называетсягармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

Пусть на области Gзадана аналитическая функцияЭта функция удовлетворяет условиям Коши – Римана:,(§8). Так как аналитическая функция бесконечно дифференцируема, то и функцииu и vтак же бесконечно дифференцируемы. Продифференцируем первое условие поx, второе поyи сложим полученные равенства:

т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если условия продифференцировать поу, похи вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана

Теорема.Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:

Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).

Пример. Доказать, чтоможет быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.

{1.

2.

Из 2-го условия К – Р:

}