ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТФКП).

Глава I. Комплексные числа и комплексные функции .

§1.Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.

Определения.Комплексным числом называется выражениеz = x +iy, где , аi называетсямнимой единицей и определяется следующим образом: .

xназывается действительной частью комплексного числа:x=Re z,y– мнимой частью:y= Im z.

Два комплексных числа иназываются равными, если их

действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу:,

т.е. одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным.

Комплексное число z = x +i yравно нулю, еслиx = y = 0.

Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа

соответственно.

Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению,

что приводит к следующему результату:

.

Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что . Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.

Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случаекомплексной плоскостью. Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой

Определение 1. Числоназывается комплексно сопряженным кz.

Определение 2.Величинаназывается модулем комплексного числа.

Т.е. modz равен расстоянию от начала координат до т.z. Нетрудно видеть, что

Примеры. 1) 2) Последовательность .

Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’. Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.

§2.Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах. Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:

Отсюда получаем: −тригонометрическая

форма комплексного числа.

Здесь:

Рассматривается два стандарта изменения φ: .

Иногда приходится пользоваться понятием Argz

Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.

Формулы для стандарта -π < φ ≤ πимеют вид:

(Для стандарта: 0 ≤ φ < 2π формулы будут немного отличаться)

Аргумент числа z = 0 не определен.

Примеры: − 2 ;i ;1 −i . {2,π; 1,π/2 ; 2, −π/3 или 5π/3 }

Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z₁z₂ = r₁ r₂()() =

=

Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:

.

§3. Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел.

По определению:На множестве действительных чисел для однозначности вводится понятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплексной области такого ограничения быть не может (см. замечание к §1). Вообще говоря, все значения корня считаются равноправными. Из предыдущего параграфа следует, что одним из корней из числабудет числоНетрудно видеть, что любое из чисел

также являются корнями из этого числа. При этом все они будут различны дляk = 0,1,…,n−1.Для последующих значенийkчисла начнут повторяться. Окончательная формула имеет вид:

, k = 0,1,2,…,n − 1.

Все полученные значения будут располагаться в вершинах правильного n−угольника.

Замечание. Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величинуArgz.

Примеры. 1).

2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел в комплексной области. Корни из положительного числа а²будут, очевидно, равны:, что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный. Отсюда аргументы значений корня будут равны

Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в случае отрицательного дискриминанта: