16.Свойство площадей под кривыми нормальных распределений.

Площадь равна единице.

18. Равномерное распределение

Распределение вероятностей называют равномерным, есливсе значения кот лежат на некот интерв [a,b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке.

или след.

Т.О.

т.к. S=(b-a)*c=1 , то с=1/(b-a)

M(x)=

M(x²)=

D(x)= M(x²) - M²(x)=

D(x) зависит от длинны отрезка.

19. Вычисление вероятности попадания значений нормальной случайной величины на заданный промежуток с помощью стандартного нормального распределения.

Известно, что если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятностьто,что Х примет значение,принадл интервалу (;), такова

Введем новую переменнуюz=(x-a)/. Отсюда x=z+a, dx=dz. Найдем новые пределы интегрирования. Если х=, то z=(-a)/, если х=, то z=(-a)/

Т.о.

Пользуясь функц. Лапласа получим

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному

закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое

отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. По условию,  =10, β = 50, а = 30, σ=10, следовательно,

P(10< X< 50)= Ф (50-30/10) – Ф (10-30/10)=2Ф(2).

По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность Р (10 < X < 50) = 2*0,4772 = 0,9544.

20. Дискретный и интервальный ряд

Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая ф-ия распределения.

Дан ряд чисел. Частота варианты-(Xi) число mi, показывающее сколько раз эта варианта встречается в выборке. Частость(относительная частота) доля варианты W=mi/n. Полигон частот-ломаная линия, соединяющая точки плоскости с координатами(Xi, Mi). Кумулянта- ломаная, соединяющая с координатами (Xi, Mxi). Эмпирическая ф-ия распределения F*(x)=mi/n=Wx. Св-ва F*:1. 0<=F*<=1; 2. неубывающая; если x1-наименьшая варианта, а Xk-наибольшая варианта, то F*(x)=0 при x<=x1 и F*(x)=1 при x>xk

Построение интервального вариационного ряда. Гистограмма частот.

В общем случае справедлива теорема: M(Dв)=((n-1)/n)Dr. Вводится понятие исправленной выборочной дисперсии S²=(n/(n-1))Dв=(∑(xi-x)²mi)/(n-1). Если произведена выборка небольшого объема, то точечная оценка непригодна, тогда поступают так: по сделанной выборке находим точечную оценку Ô→выборочное неизвестного параметра Ô ген сов-ти; по опр правилам вычисляем такое число ∆>0, чтобы интервал с данной вероятностью γ (или P) включал в себя неизвестный параметр Ô, т.е. чтобы была справедлива формула доверительной вероятности (1) P(Ô-∆<Ô<Ô+∆)=γ(гамма, доверит. вероятность). ∆-точность оценки, (Ô-∆;Ô+∆)-доверительный интервал.

21. Графическое представление вариац ряда: полигон, гистограмма, кумулята

Для наглдности строят разл графики стат распред и, в чкстности., полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки кот соедин точки (x₁;n₁), (x₂;n₂), …, (x_k;n_k). Для постороения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i ,а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i . Точки (x_i; n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относитель6ых частот называют ломаную, отрезки кот соединяют точки (x₁;W₁), (x₂;W₂), …, (x_k;W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат-соответствующие им относительные ча­стоты W_i. Точки (x_i; W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рис. изображен полигон относительных частот следующего распределения:

X 1,5 3,5 5,5 7,5

W 0,1 0,2 0,4 0,3

В случае непрерывного признака целесо­образно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на нескoлько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ne-сумму частот вари­ант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой ча­стот называют ступен­чатую фигуру, состоя­щую из прямоугольни­ков, основаниями кото­рых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты)

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h . Площадь i-гo частичного прямоугольника равна hn_i/h = n_i-сумме частот вариант i-ro интервала; следо­вательно, площадь гиcmoгpaммы частот равна сумме всех часmoт, т. е. объему выборки.

На рис.1 изображена гистограмма частот распределения объема n = 100, приведенного в табл. 6.

Гистограммой относительных частот называют сту­пенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, осно­ваниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относитель­ной частоты).

Для построення гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, паралпельные оси абсцисс на расстоянии W i/h. ПЛощадь i-ro частичного прямоугOJJЬ­ника равна hWi/h = Wi-относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гисто­гра.мАШ относительных частот равЖJ cyJUfe всех отно­сительных частот, т. е. единице.

Таблица 6

Рис 1.