1. Понятие события в теории вероятностей, вероятность события, достоверное событие, невозможное событие. Классическая формула вычисления вероятности (схема «случаев»), статистическая вероятность, субъективная вероятность.

Теория вероятностей – математическая наука, которая служит основой для анализа тех явлений окружающего мира, которым свойственна «изменчивость», и проявление которых не определяется однозначно условиями проводимых наблюдений. Событием в теории вероятностей называется произвольное подмножество множества элементарных исходов. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате опыта (если будет осуществлена определенная совокупность условий S). Событие называется невозможным, если известно, что в результате опыта оно никогда не может произойти. Событие называется случайным, если в результате опыта оно может/не может произойти. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта равновозможны и могут войти в одну группу – имеет место схема «случаев». ( События наз. равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие. События назыв. несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.) Итак, вероятность события А определяется формулой:

Р (А) = m / n,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания. Наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое и субъективное определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней ( Относительной частотой события наз. отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. ); субъективная вероятность – оценка наблюдателем, действующим лицом или иным индивидом возможности наступления определенного события на основании повторного опыта.

2. Несовместимые и совместимые события, полная группа событий. Алгебра событий: сумма событий, произведение событий, противоположное событие. Диаграмма Венна.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместимыми, т.е. которые могут произойти одновременно. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу , попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. ( Теорема: Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна единице: Р (А₁) + Р (А₂) + …+ Р (А_n) = 1 ) Суммой двух событий А + В наз. событие, состоящее в том, что произошло или событие А или событие В, или они произошли одновременно. Произведением событий наз. событие, состоящее в том, что события А и В произошли одновременно. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать . Диаграмма Венна – общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, теория вероятностей и др. Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения м/у множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большое число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств, используя эллипсы:

3. Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на появление другого. В противном случае события А и В называются зависимыми. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S. Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна:

Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А) (Р(А) > 0).

Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В).