3.2. Алгоритмы нахождения оптимального пути

Путь из начальной вершины х_н к кончиной вершине х_к - последовательность дуг, начинающаяся в вершине х_н  Х, заканчивающаяся в вершине х_к  Х, и такая, что конец очередной дуги является началом следующей: (х_н, х_i1)( х_i1, х_i2)( х_i2… х_ik)( х_ik, x_k) = (x_н, х_к).

Элементарный путь – путь, в котором вершины не повторяются.

Простой путь - путь, в котором дуги не повторяются.

Маршрут - последовательность ребер, составляющих, как и путь, цепочку.

Длина пути взвешенного графа определяется как сумма весов - его дуг. Если граф не взвешен, то можно считать веса дуг равными 1 .

Кратчайшим путем между выделенной парой вершин х_н и х_к называется путь, имеющий наименьшую длину среди всех возможных путей между этими вершинами.

При построении длиннейшего пути рассматриваются элементарные или простые длиннейшие пути, длиннейшие пути с заданным числом выполненных циклов. Длиннейший путь между х_н и х_к - путь, имеющий наибольшую длину среди всех возможных путей между этими вершинами.

Волновой алгоритм построения кратчайшего пути для невзвешенного графа

0. Вершина Xн помечается 0, остальные вершины считаются непомеченными.

1. i=i+1. Помечаются индексом i все непомеченные ранее вершины, в которых есть дуги от помеченных вершин. Если помечена вершина Хк, то выполняется п.2. Иначе, если в текущем значении индекса i оказались помеченными какие-либо вершины, то выполняется п.1. Иначе делается вывод, что пути из вершины Хн в Хк нет.

2. Обратным проходом по дугам начиная от вершины Хк выделяются те дуги, которые инцидентны выделенным вершинам и разность между весами которых равна 1.

3. При движении от вершины Хн по выделенным дугам оказывается построены все кратчайшие пути к вершине Хк.

Волновой алгоритм построения кратчайшего пути для взвешенного графа

1. Вершина Х_н получает вес V = 0, ее номер вводится в массив М номеров вершин, изменивших вес. Остальные вершины X_i получают вес V_i = ∞, их номера не попадают в массив М.

2. Если массив M пуст, то выполняется п. 3, иначе выбирается с исключением из него очередная вершина X_i, и пересчитываются веса вершин, принадлежащих исходу G(X_i) вершины X_i: X_i  G (X_i)(V_j = min (V_j V_i + l_ij)). Если вес V_j уменьшается, то номер j включается в М. Снова выполняется п. 2.

3. Если вес V_i = ∞, то делается вывод, что пути из вершины Х_н к вершине X_k нет, иначе выполняется процедура выделения дуг, такая же, как в волновом алгоритме для невзвешенного графа, за исключением того, что разность весов вершин X_i и X_j должна быть равна l_ij.

4. После выделения дуг строятся кратчайшие пути, длины которых равны V_k. Пример

1. V_i = V₁ = 0, V₂ = V₃ = V₄ = V₃ = V₆ = ∞, M = {1}

2. M ≠ 0, i = 1, M = 0, G(X₁) = {X₂, X₃}; V₂ = min (∞, 0 + 1)=1; M ={2}

V_i = min (∞, 0 + 4) = 4; M ={2,3};

2. M ≠ 0, i = 2, M = {3}, G(X₂) = {X₃, X₄}; V₃ = min (4, 1 + 2)=3; M = {3}; V₄ = min (∞, 1 + 5) = 6; M={3,4};

2. M ≠ 0, i = 3, M = {4}, G(X₃) = {X₄, X₅}; V₄ = min (6, 3 + 2)=5; M = {4}; V₅ = min (∞, 3 + 4) = 7; M={4,5};

2. M ≠ 0, i = 4, M = {5}, G(X₄) = {X₅, X₆}; V₅ = min (7, 5 + 1)=6; M = {5}; V₆ = min (∞, 5 + 4) = 9; M={5,6};

2. M ≠ 0, i = 5, M = {6}, G(X₆) = {X₆}; V₆ = min (9, 6 + 2)=8; M = {6};

2. M ≠ 0, i = 6, M = {0}, G(6) = {0};

3. G^-1(X₆) = {X₄, X₅}; V_x6 - V_x5 = 2; l₆ = 2,* V_x6 - V_x4 = 3, l_4,6 = 4.

G^-1(X₅) = {X₃, X₄}; V_x5 - V_x4 = 1; l_4,5 = 1,* V_x5 - V_x3 = 3, l_5,3 = 4.

G^-1(X₄) = {X₂, X₃}; V_x4 - V_x3 = 2; l_3,4 = 2,* V_x4 - V_x2 = 4, l_2,4 = 5.

G^-1(X₃) = {X₁, X₂}; V_x3 - V_x2 = 2; l_2,3 = 2,* V_x3 - V_x1 = 3, l_1,3 = 4.

G^-1(X₂) = {X₁}; V_x2 - V_x1 = 1; l₁ = 1,*

Построен кратчайший путь (Xн, Xк) длиной 8:

(X_н = Х₁, Х₂)( Х₂, Х₃)( Х₃, Х₄)( Х₄, Х₅)( Х₅, Х₆ = Х_к).

Процесс решения можно оформить в виде таблицы:

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	М
0	∞	∞	∞	∞	∞	1
0	1	4	∞	∞	∞	2,3
0	1	3	6	∞	∞	3,4
0	1	3	5	7	∞	4,5
0	1	3	5	6	9	5,6
0	1	3	5	6	8	6
0	1	3	5	6	8	0

В олновой алгоритм построения длиннейшего пути во взвешенном графе

Используется волновой алгоритм построения кратчайшего пути для взвешенного графа со следующим отличием:

1. В первом пункте волнового алгоритма нужно присвоить всем вершинам вес 0, тогда автоматически будут строиться длиннейшие пути.

2. Во втором пункте алгоритма V_j = max (V_j, V_i + l_ij)

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	М
0	0	0	0	0	0	1
0	1	4	0	0	0	2,3
0	1	4	6	0	0	3,4
0	1	4	6	8	0	4,5
0	1	4	6	8	10	5,6
0	1	4	6	8	10	6
0	1	4	6	8	10	0

Vx6 - Vx5 = l5,6 = 2(*(X5, X6))

Vx6 - Vx4 = l4,6 = 4(*(X4, X6))

Vx4 - Vx3 = l3,4 = 2(*(X3, X4))

Vx4 - Vx2 = l2,4 = 5(*(X2, X4))

Vx2 - Vx1 = l1,2 = 1(*(X1, X2))

Vx3 - Vx1 = l1,3 = 4(*(X1, X3))

Обратный ход:

Построены три длиннейшие пути:

1. (Х₁, Х₂)( Х₂, Х₄)( Х₄, Х₆)

2. (Х₁, Х₃)( Х₃, Х₄)( Х₄, Х₆)

3. (Х₁, Х₃)( Х₃, Х₅)( Х₅, Х₆)