4. Задача об использовании мощностей ( задача о загрузке

оборудования)

Предприятию задан план производства m видов продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить b_i (i = 1, m) единиц продукции каждого типа. Продукция производится на станках n типов. Для каждого станка известны производительность a_ij (то есть, количество продукции j-го вида, которое можно произвести на станке i-го типа) и затраты c_ij на изготовление продукции j-го вида на станке i-го типа в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим x_ij – время, в течение которого станок i-го типа будет занят изготовлением продукции j-го вида (i = 1, m; j = 1, n)

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией F = c_ijּx_ij,

которую нужно минимизировать.

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства: a_ijּx_ij = b_i (i =1, n)

Кроме того, x_ij ≥ 0 (i = 1,m; j = 1, n)

Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то система ограничений может быть дополнена неравенствами:

x_ij ≤ T (i = 1, n)

5. Задача о раскрое материалов.

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве A единиц. Требуется изготовить из него m разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b_i (i = 1, m) – условие комплектности. Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование j-го способа (j = 1, n) дает a_ij единиц i-го изделия (i = 1, m).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающее максимальное количество комплектов.

Обозначим x_j – число единиц материала, раскраиваемых j-ым способом,

x – число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то x_j = A.

Требование комплектности выразится уравнениями

x_jּa_ij = b_iּx (i = 1, m)

Кроме того x_j ≥ 0 (j = 1, n)

6. Транспортная задача.

Одной из типичных задач линейного программирования является, так называемая, транспортная задача. Она возникает при планировании рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором их стоимость была бы минимальна, а в других - более важным является выигрыш во времени. Первая задача называется транспортной задачей по критерию стоимости, а вторaя - транспортной задачей по критерию времени.

Первая задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом. Однако, в силу особенностей этой задачи она решается проще.

Пусть в m пунктах отправления находятся, соответственно, a_i (i=1, m) единиц однородного груза, который должен быть доставлен m потребителям в количествах b_j (j=1, n) единиц. Заданы стоимости c_ij перевозок единицы груза из i-го пункта отправления j-му пункту потребления. Обозначим через x_ij ≥ 0 (i =1, m; j =1, n) количество единиц груза, перевозимого из i-го склада j-му потребителю; тогда переменные x_ij должны удовлетворять следующим ограничительным условиям:

1) x_ij = a_i (i = 1, m),

2) x_ij = b_j (j = 1, n), (3.17)

3) x_ij ≥ 0.

Суммарные затраты на перевозки равны Ф = (с_ij·x_ij ).

Следовательно, требуется на множестве неотрицательных решений найти переменные x_ij, (i = 1, m; j = 1, n ), удовлетворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию Ф.

Математическая модель транспортной задачи обладает следующими особенностями:

а) система ограничений задана в виде уравнений (задача задана в канонической форме);

б) коэффициенты при переменных в системе ограничений равны единице или нулю;

в) каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз в сумму по i и один раз в сумму по j;

Транспортные задачи, в которых выполняется условие a_i =b_j, то есть, суммарные запасы равны суммарным потребностям, называются закрытыми транспортными задачами (закрытая модель транспортной задачи). В противном случае задача называется открытой (открытая модель транспортной задачи).

А. Закрытая транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования и методы ее решения представляют собой компактные интерпретации общих методов линейного программирования. Наиболее эффективные методы решения транспортной задачи основаны на методе последовательного улучшения плана (симплексный метод) и на методе последовательного сокращения невязок (венгерский метод).

Специфичная форма системы ограничений данной задачи позволяет существенно упростить обычный симплексный метод. Модификациями симплексного метода применительно к закрытой транспортной задаче являются распределительный метод и его разновидности (метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости, метод двойного предпочтения), а также метод потенциалов.

В. Открытая модель транспортной задачи имеет две разновидности:

а) суммарные запасы превышают суммарные потребности a_i >b_j;

б) суммарные потребности превышают суммарные запасы a_i <b_j;

Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только система ограничений.

Открытая задача решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный (n+1)-ый потребитель, потребности которого равны

b_n+1 =a_i - b_j. В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный (m+1)-ый поставщик, запасы которого a_m+1 =a_i <b_j.

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится. После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычным способом.

2.Транспортная задача по критерию времени заключается в минимизации времени перевозок. Выразим время Т через времена t_ij и объемы x_ij (от i–го поставщика до j–го поставщика). Так как все перевозки заканчиваются в тот момент, когда кончается самая длительная из всех перевозок, то время Т есть максимальное из всех времен t_ij ненулевых перевозок, то есть, T = max t_ij ,

^Xij>0

где символ х_ij>0 означает, что берется максимальное не из всех t_ij, а только из тех, для которых перевозки отличны от нуля.

Требуется, чтобы Т =max t_ij min.

X_ij>0

Поставленная задача не является задачей линейного программирования, так как величина Т – нелинейная функция переменных х_ij. Эту задачу можно свести к решению задач линейного программирования, но не одной, а нескольких. А для непосредственного решения транспортной задачи по критерию времени применяется, так называемый «метод запрещенных клеток».